全文字数895 | 阅读需要3分钟

关键词：IIR滤波器、系统函数、双线性变换法、MATLAB

导读：

IIR（Infinite Impulse Response）滤波器是无限长冲击响应滤波器【1】【2】。IIR滤波器的设计主要是利用模拟滤波器成熟的设计理论来进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性，特别是双线性变换法没有频率混叠，效果很好【3】【4】。

图 1 IIR滤波器的幅频响应

IIR滤波器的特点

IIR滤波器有以下几个特点【3】：

1. 系统的单位冲击响应h(n)无限长。

2. 系统函数H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有极点存在。

3. 存在输出到输入的反馈，递归型结构。

IIR滤波器的结构类型

IIR滤波器的系统函数为【5】：

IIR滤波器有四种基本结构，直接I型、直接II型、级联型、并联型结构【3】。本章节简单介绍一下直接I型、直接II型和级联型。

• 直接I型：假设M=N，将H(z)转换为H1(z)和H2(z)的级联，得到直接I型结构【5】：

图 2 直接I型结构

• 直接II型：对于一个线性非移变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。将直接I型结构的H1(z)和H2(z)交换级联次序并合并延时器就可以得到直接II型结构【5】：

图 3 直接II型结构

• 级联型：将系统函数做一点变换，拆开每项系数，可以表示成多个实系数的二阶子系统Hi(z)的连乘积形式【5】：

可以得到级联型结构：

图 4 级联型结构

如何用MATLAB设计IIR滤波器

打开MATLAB，在命令行输入：filterDesigner或者fdatool，就会跳出滤波器设计界面，根据自己的需求配置对应的参数【4】：

图 5 滤波器设计

设计完滤波器后，在工具栏文件(File)的下拉菜单选择Export可以导出滤波器系数，得到矩阵SOS（second-order section）和G（Gain），对应于IIR滤波器的级联型结构。通过sos2tf函数可以将级联型结构的滤波器系数转为直接I、II型结构对应的滤波器系数【6】。

参考

1. FIR滤波器百度百科：

   https://baike.baidu.com/item/FIR%E6%BB%A4%E6%B3%A2%E5%99%A8/1983543?fr=aladdin

2. FIR滤波器维基百科：

   https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_impulse_response

3. 朱冰莲. 数字信号处理[M]. 北京：电子工业出版社，2010

4. 如何快速设计一个IIR滤波器

   https://zhuanlan.zhihu.com/p/51097798

5. IIR滤波器的FPGA实现

   https://www.jianshu.com/p/4a51ba7c922d

6. MATLAB sos2tf函数帮助文档