系统信道上的每一个部分均为实际存在的物体，那么我们对于信道上元件的建模也需要与自然法则相一致。为了保证系统正确的物理行为，模型必须满足以下的数学要求。

1. 因果性

对于物理信号而言，模型对于信号激励的响应不能超前于输入激励，即结果不能超前于它的起因。这种原理被称为因果性。从测量到仿真器频变介质模型中的假设，都会引入非因果性，本文将不会讨论复杂的数学上的解释方式。我们将使用软件直接给出非因果性的检查结果。

2. 无源性

如果一个物理系统不产生能量，那么它就是无源的。在信号完整性分析中，S参数模型几乎总是无源器件连接结构，因此它们只会消耗能量，不会像有源器件一样产生能量。严重违背无源性的模型可能会导致时域仿真不稳定。通过功率守恒的定理我们可以通过一些计算公式，让软件检查模型的无源性。

3. 实数性

对于符合物理规则的模型，其时域响应必须为实数。因为物理可观测信号不会存在虚部。而当傅里叶变化的正频率共轭于负频率时，能保证其时域的实数性 [LePage,1980]。其主要反应为S参数模型的DC渐进行为，在之后的案例中会详细讨论。

在信号完整性应用中，我们使用测量或电磁仿真器得到器件的频率特性，即我们熟知的S参数模型。S参数模型描述一组端口在多个不同频率下的行为。然而，和等效电路不同，这是一种 “黑匣子式” 的建模方式，由于多种非理想因素的引入，我们并不能确定模型的适用性。我们总是需要一定的方式去检查S参数模型的质量是否符合以上的物理特性，来避免仿真出现重大错误。

另外值得一提的是，由于这种模型的频率相关性，在时域电路仿真中必须采用特定的技术来求解S参数模型的时域响应。大多数仿真器使用相对直接的方法，例如傅里叶逆变换和直接的卷积。然而, Mentor 的仿真器使用一种不同的、更复杂的方法在时域上求解S参数：复极点拟合法Complex Pole fitting（CPF）。在仿真之前，CPF 将一个S参数模型拟合到一组复极点上，精确地表示模型的频率特性，然后直接对于这些极点进行时域仿真。我们可以认为这样的模型与等效电路类似，是“解析式”的模型，模型的因果性是被强制保持的。大部分的商用时域仿真器件都会使用类似的技术来确保仿真的稳定进行。当然这种转换需要保证原S参数不存在极大的质量问题，因此检查模型质量还是非常必要的。在接下来的章节中我们也会看到一些 CPF 技术在保证模型质量方面的应用。

HyperLynx 中的Touchstone Viewer 不仅是查看S参数模型工具，它还可以提供TDR分析、单位脉冲分析、SerDes 协议检查及参数模型质量检查。接下来，我们将展示如何使用 Touchstone Viewer进行相关的模型检查。

时域仿真器如何处理数据范围问题

对于一个好的模型来说，需要有宽的数据频率范围，来保证所有重要的谐振都被包含进去。假设，我们有一个 DC到20Ghz 的S参数模型，乍一想，如果只仿真1.5GHz左右的信号，20GHz 以上谐波贡献的能量可以忽略不计，因此我们会认为这样的频率范围是足够的。但是从数学角度出发，一个DC到20GHz 的函数可以被认为是一个由符合因果性的“解析式”模型被一个矩形窗函数采样得到的。但这样的窗函数是非因果性的，因此使用频率范围截断的S参数模型进行时域仿真，可能会得到不正确的结果，例如脉冲响应从负频率开始。为了解决这样的问题，如之前提到的，商用仿真器会进行一定的假设来补充频率范围以外的频率相关性，将S参数模型转换为“解析式”的模型来进行时域仿真。Mentor使用 CPF法，假设并拟合了超过范围之外的频率特性，以保证模型因果性 （我们需要知道20Ghz 之后的假设与实际情况不相关，只是为了保证因果关系进行的假设，因此我们需要关注实际数据的最高频率范围是否远大于数字信号的基频）。与其他卷积式的方法相比，区别是CPF 转换得到的PLS 可以同样显示在 touchstone viewer中，在时域仿真之前，我们可以比较拟合前后的曲线是否连续（卷积型的仿真器不会将拟合后的S参数需求显示出来）。手动的转换方式为：Convert -> To Fitted Poles

除了上述特点，基于 CFP 方法的时域求解还有以下优势：

● 仿真速度比卷积法快 5-7 倍。

● 为了增加速度，卷积法仿真器需要截断部分时域响应，精度会损失。

● 转化后的PLS 模型比 S参数模型更小。

● 因果性强制保证（普通的S参数模型因果性无法保证，CFP 转换过程中可解决非因果性问题，但注意不适用于极端的分辨率不足的情况，之后会讨论。）

采样精度不足

另一个很常见的模型质量问题是采样分辨率不够。数字信号通常都有一个很宽的频谱范围，这意味着我们需要选择合适的采样方式，通常我们在低频率范围可以选用对数尺度，或者选择更好的“自适应”采样方式（采样的步长取决于模型本身的谐振特性）。一个好的模型在低频范围和高频范围都需要有足够的采样点数量，对于Q值很高的谐振，也需要有足够的采样点来表示它的最大和最小值（需要使用自适应采样方式）。打开View Vertices 功能，我们可以显示模型曲线上的采样点的。如果此时采样频率不足，软件没有办法确定采样频点间的行为，有的时候会导致模型的非因果性。我们可以使用Touchstone Viewer 的 Polar-plot 模式来查看非因果性：非规则的极坐标轨迹可以认为是非因果性的。下图显示了一个有采样分辨率不够问题的模型。很明显它有很多谐振点，但图中的谐振并不足以确定它的频率特性。

如果我们将模型转为极坐标模式（Display 窗口下的Trajectory plot）我们将清晰地看到一个混乱的轨迹图。这样的轨迹就表示模型有严重的采样频率不足的问题，因果性检查也会失败（右键模型，点击Check Causality）。

可行的解决办法之一是，我们使用 CPF 法，为模型采样点进行插值，可以看到结果令人影响深刻（如下图所示）。使用CPF 转换之后的模型，其清楚得补充了谐振的最大值和最小值，并且模型的因果性也被强制保证。

当然，每个谐振的最大值和最小值都是进行了一定的假设，因此在极端的分辨率不足的情况下，使用这种方法拟合得到结果是不准确的。如果有必要可使用频率仿真器以更高的分辨率进行参数提取，一般对于不同的SerDes 协议，均有推荐的采样步长和频率范围，下表是一些常见的例子：

非理想的DC点渐进行为

如之前在模型实数性中讨论的：当傅里叶变化的正频率共轭于负频率时，能保证其时域的实数性 [LePage,1980]。那么对于S参数模型来说，模型曲线的实部需要为奇函数，而虚部需要为偶函数。这就意着，实部曲线的斜率在DC点需要为零，相反的，虚部曲线的斜率为非零值，但必须经过零点，模型曲线需要以这样的方式渐进DC 点。如果DC点附近的采样数据不足，那么将会产生这种情况，并导致开关转换的电平范围不正确，得到错误的眼图结果。我们将显示模式转换为 Real and imaginary parts（同Display 窗口下）。如下图，是一对符合实数性和不符合实数性的实/虚部的渐进曲线。解决实数性问题的方法是，使用对数尺度 (logarithmic scale) 或自适应 (Adaptive) 的方式进行采样，保证S参数模型DC 附近有足够的采样点。

固有的非因果性

前面提到了由于采样分辨率不足导致的非因果性问题。但S参数求解器在仿真的时候一定会对于电介质、及导体模型进行一定的假设，求解器对于介电常数和损耗角的频变假设，会导致该数学模型稍微违背物理原则，因此可能会存在一定的固有非因果性。同样使用Trajectory plot 模式显示S参数模型，如果曲线随频率逆时针旋转，那么可能存在固有的非因果性问题，如下图所示。

那么是否有解决这种模型问题的方法呢？非常不幸的是，工程师在尝试人工修改模型的时候通常会引入更多的难以预期的问题。因此我们不推荐人工进行频点的修改。轻微的非因果性是可以容忍的（但我们需要注意的是，许多模型级联起来非因果性将叠加），使用 Check Causality 功能，软件会告诉你模型违背因果性的程度。如果纠正非常必要，建议直接联系模型供应商（测量使用的VNA 可能校准不正确或去嵌不理想），或重新使用电磁仿真软件进行求解（检查仿真设置）。

无源性的检查方式

在 Touchstone Viewer 中我们选择 Passivity Plot （Display 窗口下）模式来查看模型的无源性。在有的情况下，非无源性的模型可能会导致仿真的不稳定（由于你的模型可能无限产生电压和电流）。由于功率守恒，被网络吸收的功率等于输入网络的功率减去流出的功率。忽略数学推导过程，将功率守恒公式写成功率波矩阵的形式, 我们将得到下式 [Ling,2007]：

其中a矩阵包含了所有端口的入射功率，b矩阵包含了所有端口的输出功率，H 上标指的是厄密特转置(Hermitian Transpose),并且

S 为S参数模型。那么经过简单的运算我们可以得到：

式中的P(f)即是 touchstone viewer中Passivity Plot 所得到的曲线，如下图所示。

幸运的是，我们可以使用 Mentor 的技术来修正模型的无源性。点击 Convert -> Correct Errors -> Enforce Passivity，我们可以保证时域仿真的稳定。但代价是拟合后的曲线一定程度上牺牲了精度。我们需要在Touchstone viewer上查看原曲线和拟合后曲线的匹配程度。