嫌我们理科生不够浪漫？你有一份音乐数学入门指南待查收

原创小林绿子中科院物理所昨天

某天小编闲来无事浏览今年的高考题，全国卷II文科数学一道与钢琴相关的题成功引起了我的注意。大家总觉得我们理科生不懂浪漫，这道题看起来可以替我们评评理。

作为理科生，看到数学题自然是很兴奋地先解题，列举法可以很简单粗暴地给出答案：

发现原位大三和弦和原位小三和弦在一组音中一共有10种情况，所以答案选C，你做对了吗？

做完题小编不禁开始思考音乐背后的物理和数学原理，为什么钢琴一组音有7个白键5个黑键，和弦为什么是这样排列的？

什么是声音？

初中物理中我们就学过声音是由振动产生的声波，可以通过介质（空气、固体或液体）以波的形式传播被人耳或者其它接收器感知。在自然界中能为人的听觉所感受到的音是非常多的，人耳能识别频率在20Hz~20000Hz的声音，但并不是所有的声音都能作为音乐的材料。那么什么样特别的声音可以用来搞音乐呢？

我们知道声音有高低、强弱、长短、音色等四种性质。振动发声就会产生一定的频率(Hz)，对应的便是音高，而其传播的能量大小对应的是音强(dB)。由于发声体材料特性不同，会产生不同的音色，音色是一个比较玄学复杂的东西，它与发声体的性质、形状及其泛音的多少有关，比如二胡和钢琴弹拨同一个音给人的体验是完全不同的，比如班主任和小芳喊你名字给你的感觉也是不同的。

音强、音高、音色可以通过音频图像展示出来，音强对应的是其振幅大小，与弹拨乐器的力度有关；音高对应的是频率高低，一般情况下乐音是固定频率的；而音色是伴随着主音高一些附加的频率，与乐器的种类、材质、状态等有关。

音频图像（图源：QIPOST《鋼琴音色的物理學》）

并不是所有的声音都好听，好听的是乐音，不好听的是噪音，但是萝卜青菜各有所爱，如何更标准地区分乐音和噪音呢？我们可以简单地根据声音振动状态的规则与不规则来定义乐音与噪音。在音乐中所使用的主要是乐音，并由一堆有规律的固定音高的音组成乐音体系。

乐音与噪声的波形图（图源：神州音响网）

乐音体系中的数学规律

乐音体系中的音，按照上行或下行次序排列起来叫做音列。在标准调音下，钢琴这种频率固定、音域广泛的乐器成功引起了小编的注意，于是我去搜了普通钢琴八十八键的频率对照图，可以从中明显地看出乐音体系所使用的音和音列。

钢琴八十八键的频率对照图（图源：CSDN《基础乐理和钢琴》）

从中我们可以发现第n个键所对应的频率为：

这里使用的频率计算方法便是大名鼎鼎的十二平均律。从表中可以发现频率比为整数倍的两个音具有同样的音名（现代音乐用字母CDEFGAB来标记），两个相邻的具有相同音名的音音程相差八度。音程指两个音在音高上的相互关系，也可以理解为两个音频率的“距离”。在十二平均律中将八度的音“平均”分为了十二个部分——半音。相邻半音之间的频率比等于一个常数：

十二平均律早在古希腊便有人提出了，但并未加以科学的计算。世界上最早根据数学来制定十二平均律的是我国明朝大音乐家朱载堉（1584年）。

朱載堉：《乐律全书》

为什么是十二平均律？或许大家和小编都有这样的疑问，带着这样的问题我们来一起探讨。

泛音与谐波的关系

相同音名频率之间的整数倍关系不得不让我们想到了在物理学中谐波这个概念，谐波是指周期函数或周期性的波形中能用常数、与原函数的最小正周期相同的正弦函数和余弦函数的线性组合表达的部分，其频率是基频的整数倍，可通过傅里叶变换来得到。

“傅里叶”这三个字想必大家都不陌生，如傅里叶变换、傅里叶积分、傅里叶级数、傅里叶分析…不少理工科的同学为此饱受折磨，并留下了心理阴影（这个阴影也可以进行傅里叶变换喔～），逃不掉的都是命运。

傅里叶变换是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。简单来说傅里叶变换就是将一个复杂的波形拆开成一个个正弦波的组合，实际上傅里叶变换就像化学分析，可以确定波的基本成分。

傅里叶变换将函数的时域（红色）与频域（蓝色）相关联。（图源：维基百科）

在钢琴中弹响一个音，都不只是一个音在响，而是许多音的结合，这种声音叫做复合音，复合音可以通过傅里叶分析拆分成单音。复合音的产生是由于发音体（以弦为例）不仅全段在振动，它的各部分（二分之一、三分之一、四分之一等）也分别同时在振动。由发音体全段振动而产生的音叫做基音，也就是最易听见的声音，由发声体各部分分段振动而产生的音叫做泛音，其实就是物理学上的谐波，基波频率2倍的音频称之为一次泛音，基波频率3倍的音频称之为二次泛音，以此类推。

谐振现象（图源：维基百科）

这些泛音是听觉不易听出来的，但是由于共振（在声学中亦称“共鸣”），可以在钢琴对应键的钢弦上观察到其振动，这也是一个直观的傅里叶分解。共振指的是物体在特定频率下会比其他频率以更大的振幅做振动，比如两个频率相同的音叉靠近，其中一个振动发声时，另一个也会发声。

它们与基音之间的音程以及频率比是固定的：音程是一个八度（频率比为2:1），然后是一个纯五度（频率比为3:2），等等。一件乐器的音色是由其泛音的比例决定的，泛音离不开基音，否则就是无本之木了，泛音和基音一同共鸣，才形成了丰满完整的音色。

十二平均律与五度相生律的故事

由于复合音中的泛音与基音相处融洽和谐，根据复合音的第二分音和第三分音的纯五度（频率比为3:2）关系，即由某一音开始向上推一纯五度，产生次一律，再由次一律向上推一纯五度，产生再次一律，如此继续相生产生了五度相生律。

在此做一个简单的计算来推导五度相生律：

取一基音，以C为例，将其频率f乘上3/2，即升高完全五度得下一音G。

将G升高完全五度得下一音D，D之频为(3f/2)*(3/2)=9f/4，高于原基准音之倍频，故将其除二，即降八度得9f/8。

将D升高完全五度得下一音A，A之频为(9f/8)*(3/2)=27f/16。

将A升高完全五度得下一音E，E之频为(27f/16)*(3/2)=81f/32，高于原基准音之倍频，故将其降八度得81f/64。

将E升高完全五度得下一音B，此时B之频为(81f/64)*(3/2)=243f/128。

假设有一音升高完全五度再降八度后为基准音C，可得此音之频为4f/3，此即为F。

依上法可得七声音阶，整理可得下表：

由于

(m, n为正整数)，随着纯五度的演进最后得到的音无法还原闭合，造成了音乐律学上的困难与妥协。并且五度相生律决定的音程之间频率比不统一，虽然大部分五度之间的音听起来是非常和谐的，但也有一部分不和谐的音存在。由五度相生律确定的音也面对一大难题，便是在乐曲转调的时候听起来也会很别扭，这也是导致了人们试图寻找其它的音律。

音名与琴键的对应关系

随着时代的发展，复调音乐（有两条及以上独立旋律）占了越来越多的比重，转调也因此变得更加重要。为了解决转调的难题，作曲家们尝试更优化的律法，十二平均律脱颖而出。十二平均律将八度的音程按频率比例分成十二等份，让两个相邻半音的频率比等于一个常数，即2的1/12次方。由于它纯五度两个音的频率比，人耳基本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别，由此十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用。

在钢琴中黑键与白键其实并无本质上的区别，音色完全一样，相邻琴键间(j-i=1)的频率比都为2的1/12次方。白键是音的原型（自然中找得到的音），七个琴键构成基本音级（CDEFGAB），黑键是根据基本音级升高或降低一个半音而得到的音构成变化音级。由于黑键很规律的两个一组和三个一组排列，我们可以很方便地在钢琴中找到各个音的位置，钢琴小白也可以看着简谱演奏一段《小星星》。

和弦的起源

提到和弦，可能不少曾梦想仗剑走天涯的少年都拥有一把扑灰吉他，但弃于大横按，吉他伴奏主要是由几个和弦构成，那么你们有想过和弦是什么吗？

小编的扑灰吉他

通过十二平均律定义的现代钢琴，一组琴键由7个白键和5个黑键组成，已知相邻琴键之间的频率比：

按照和声音程（同时弹奏的两个音形成和声音程）在听觉上所产生的印象，音程可分为协和和不协和两类。

协和音程顾名思义是听起来悦耳、融合的音程。协和音程可分为三种（音程以第a_i与a_j个琴键来表示）：

极完全协和音程：声音完全合一的纯一度(j=i)和几乎完全合一的纯八度(j-i=12)
完全协和音程：声音相当融合的纯五度(j-i=7)和纯四度(j-i=5)
不完全协和音程：即很不融合的大三度(j-i=4)、小三度(j-i=3)、大六度(j-i=9)、小六度(j-i=8)。

极完全协和音程与完全协和音程的特性是声音有点空，而不完全协和音程的声音则较为丰满，可配合视频感受。

协和音程

不协和音程听起来比较刺耳，彼此不是很融合，比如大二度(j-i=2)、小二度(j-i=1)、大七度(j-i=11)、小七度(j-i=10)。

不协和音程

正因为这些听起来和谐的声音给人舒适放松的感觉，作曲家们便想办法将其组合起来，把它们按照三度（大三度(j-i=4)、小三度(j-i=3)）关系排列起来的三个以上的音结合起来构成和弦。按三度音程关系构成的和弦，由于各音间保持一定的紧张度，音响协调丰满，并合乎泛音的自然规律，因而被广泛采用。

最后再回到这道题目上来，了解一下什么是原位大三和弦和原位小三和弦。原位和弦指以和弦的根音为低音（最低的音）的和弦，由三个音按照三度关系叠置起来的和弦叫做三和弦，在钢琴中的12个键依次记为a₁,a₂,...,a₁₂ ，设0<i<j<k<13 ，大三和弦中j-i=4 表示根音到三度音是大三度，k-j=3 表示三度音到五度音是小三度，k-i=7 表示根音到五度音是纯五度。同理，小三和弦中 j-i=3 表示根音到三度音是小三度，k-j=4 表示三度音到五度音是小三度， k-i=7 表示根音到五度音依然是纯五度。