你的班里有没有两个生日相同的同学？

以下文章来源于大小吴的数学课堂，作者大小吴

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你是否以前在上学的时候想过这样一个问题：我们年级里（或者班级里）是否有两个生日一样的同学？如果一个年级有400人，那么就必然至少会有两个同学生日相同（因为一年只有365天或366天）。实际上，我们通过数学计算可以得知其实并不需要那么多同学，仅仅只需50人的班级中，就有非常高的概率会出现这种情况，很反直觉吧！今天小编来和大家探讨一下概率论中非常著名的生日问题。

1 极端的情况

对于生日问题我们可以这样描述：

假设每个同学的出生日期都是相互独立的，并且每个同学都等可能地出生在一年中的任何一天（2月29日除外），那么要有多少人才能保证其中至少两个同学的生日在同一天的概率

我们不考虑闰年，假设一年只有365天，因此只要一个年级有366个同学就一定会出现“至少两个人的生日在同一天”，因此答案必然是2到365的某个数。

想想另一种极端情况，如果一个年级有184个同学，那么至少两个人的生日在同一天的概率一定不小于50%，为什么呢？想想如果前183个同学的生日互不相同（比方说这183个同学的生日正好就是一年的第1~183天），那么对于第184个同学来说，他与前面183个同学中的某人同一天生日的概率就至少为50%！这并不难理解：因为一年中过半的日期已经被占用了，最后一个同学要么和前183个同学中的某人同一天生日，要么生日是在剩下的182天中。

这样我们就又缩小了范围：这个问题的解一定满足

并且，直觉告诉我们，肯定是人越多（越大），“至少两人生日在同一天”的概率越大。

2 穷举法

我们可以尝试用穷举法来求解这个问题，比如说一种简单的情况：当时，这两个人所有可能的生日排布方法一共有

这很容易理解：因为对第一个人来说，他的生日有365种可能，第二个人也有365种可能。

在这133225种组合中，两个人生日在同一天的组合只有365种，这也不难理解：如果两个人生日在同一天，那么只要选定了第一个人的生日，第二个人的生日就只有唯一一种可能。

因此当只有两个人的时候，概率的计算非常简单：

再来看的情况，那么易得所有可能的生日排布方法有

计算分母很容易，但在计算分子时要特别当心。因为我们要算的是“至少两人生日在同一天”，因此这里我们需要分类讨论：

有且只有两个人生日在同一天
三个人生日在同一天

对于第一种情况，我们可以这样计算：假设前两个人生日在同一天，第三个人生日与他们不同，则共有

（第一个人的生日可以是一年365天中的任何一天，第二个人的生日必须与第一个人相同，而第三个人的生日只能从剩下的364天中选取）

类似地，易知这种情况会出现3次：

第一个人	第二个人	第三个人
相同	相同	不同
相同	不同	相同
不同	相同	相同

因此这种情况包含的组合数为

别忘记还有一个很特殊的情况：三个人生日相同，这种情况包含的组合数为365种。

这样我们可以计算三个人时的概率：

从两人的到三人的，概率确实增大了，符合我们的直觉。但是遗憾的是，这个概率离还十分遥远，而且我们会发现当变得越来越大时，整个计算过程就是一场噩梦，因为情况会越来越复杂，整个过程需要更全面地分类讨论，这不是我们所希望看到的。

3 计算对立事件的概率

因此，穷举法在这个问题中不是一个理想、高效的方法，我们需要更好的思路。

在概率论中，计算对立事件的概率——不发生的概率——有时往往比直接计算事件的概率容易很多。如果我们知道事件不发生的概率是，则发生的概率就是，对于对立事件来说，两者必有其一发生。

想想这对解决生日问题有什么帮助呢？很显然，如果我们记事件

则其对立事件为

而计算“所有人的生日都互不相同”这件事的概率是容易的，举个例子，当时，其概率为

当时，其概率为

沿着这个思路，对于一般情况来说，当人数为时，其概率为

使用连乘符号，我们可以把这个结果改写成

也许你对这个符号不太熟悉，它是由求和符号推广而来的，我们知道

相应地，有

对上面的表达式再进行一些简单的处理，得到

4 程序实现

上述这个代数式计算的是“至少两人生日在同一天”的对立事件“所有人的生日都互不相同”的概率，因此我们需要使得

大数的阶乘计算起来并不容易，我们可以借助数学软件帮助我们计算，设计一个简单的解决生日问题的程序：

noshare = {{1, 1}};
share = {{1, 0}};
currentnoshare = 1;
For[n = 2, n <= 50, n++,
 {
  newfactor = (365 - (n - 1))/365;
  currentnoshare = currentnoshare*newfactor;
  noshare = AppendTo[noshrae, {n, 1.0 currentnoshare}];
  share = AppendTo[share, {n, 1.0 - currentnoshare}];
  }]
Print[ListPlot[share, AxesLabel -> {"人数n", "概率P"}]]

我们可以得到如下图像：