凸多面体的平面展开图，一定不会重叠么？

中科院物理所昨天

以下文章来源于新东方智慧学堂，作者大神团·冯伟

新东方智慧学堂

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同学们，你知道什么是多面体的展开图嘛？

将一个三维多面体沿边线裁开，并将多面体表面在平面上摊平，我们就得到了该多面体的展开图(unfolding)。

如果展开图中的各个面之间互相没有交叠，则称之为简单展开图(net)。

1525年，德国画家丢勒(Albrecht Durer)研究了一些正多面体和半正多面体的展开图的构建

^{[1]}

。

可以看出，所有正多面体都具有简单展开图。

你能构建出一个具有非简单展开图的多面体吗？

下面这种多面体可能是你最先想到的：

不过，它依然具有简单展开图——

那能否构建出不存在简单展开图的多面体呢？

答案是肯定的。

比如下面这种，无论以何种方式裁剪展开，总会有两个面交叠。玄机就在于无论怎么展开总会有两个红色面相邻，而这相邻面形成的空格仅够放两个绿色的面！

如果我们仔细观察，会发现，上面两种具有非简单展开图的多面体都至少有一个面是非凸多边形。

那是不是限制多面体的每个面都是凸多边形，就能保证任意裁剪展开都是简单展开图呢？

或者退一步，至少保证有一种简单展开图呢？

很遗憾，数学家找到了这样一个多面体，它的每个面都是凸多边形，然而却不具有简单展开图，就是下面这样的

^{[2]}

。

聪明的你一定发现了，这些具有非简单展开图的多面体都比较怪异，准确的说它们都不是凸多面体。

所谓凸多面体是指这样一类多面体——

将其任意一个面扩展成平面，其他所有面都在该平面的同一侧。

如果将黄色面扩展开来，就会将这个多面体分割在这个面的两侧，所以他不是一个凸多面体。

比如之前我们提到的下面这个多面体。

那么，是不是凸多面体的任意展开图都是简单展开图呢？

数学家们又发现了这样一些反例

^{[1][3][4]}

。

最后的最后，跟大家介绍一个猜想，它是由舍普哈德（Shephard）在1975提出的：对于凸多面体，一定具有某种裁剪方法使其展开图为简单展开图

^{[5]}

。

这一次，数学家们没能再举出反例，但也没能给出证明。

聪明的你，能找出反例嘛？

参考文献:

1、Schlickenrieder W . Nets of Polyhedra[J]. Thesis Berlin Technische Universitat Berlin, 1997.

2、Marshall Bern and Erik D. Demaine and David Eppstein and Eric Kuo and Andrea Mantler and Jack Snoeyink. Ununfoldable polyhedra with convex faces[J]. Computational Geometry, 2003.

3、Buekenhout F , Parker M . The number of nets of the regular convex polytopes in dimension≤4[J]. Discrete Mathematics, 1998, 186(1-3):69-94.

4、Sabine Bouzette, Francis Buekenhout, Edmond DonyAlain Gottcheiner. A Theory of Nets for Polyhedra and Polytopes Related to Incidence Geometries[J]. Designs,Codes&Cryptography, 1997.

5、Shephard G C . Convex polytopes with convex nets[J]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1975, 78(3):389-403.

作者介绍：冯伟，新东方超尖生计划授课老师，清华硕士。全国初中数学、物理、化学三项竞赛一等奖，中国西部数学奥林匹克银牌，北京市大学生数学竞赛一等奖，全国大学生物理竞赛一等奖，清华大学优秀硕士毕业生。

来源：新东方智慧学堂

编辑：C&C

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