为什么不能除以0？

超模君 爆炸吧知识 今天












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爆炸吧知识


说出来你可能不信

但这是真的


今天学习了除法的表妹跑来问我：为什么不能除以0？


图片就这个问题，我专门请来了高冷的Siri。


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同样是数字，0为什么就会这么惨呢？


小学生


小学老师会直接给你来一句：别问，问就是没意义！

图片怎么理解？

我们说1÷2可以理解为1个东西分成2份。

同样：1÷3可以理解为1个东西分成3份。

但是：1÷0可以理解为1个东西分成0份。

就是说，你啥也不用干！那啥也不用干，你为什么还要除以0呢，所以没意义。

图片这结论没错，但这么严谨的数学学科，怎么解释的一点逼格也没有呢？

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初中生


所以，接下来超模君稍微认真点。

图片首先，除法起源于乘法，乘法的逆向运算。说这个有什么用呢？因为面对除法式子，我们可以把它转化为乘法式子。

比如在被除数不为0的时候：

1 ÷ 0 = ？

我们可以理解为0乘以一个数等于1，但是常识告诉我们不可能，因为0乘以任何数都是0。

另外，当被除数是0的时候：

 0 ÷ 0 = ？

我们可以理解为0乘以一个数等于0，嗯，没错啊，因为0乘以任何数都是0。

但到底是什么数啊？这意味着 0 ÷ 0有无数个答案，根本无法确定。

高中生


图片当然，我们可以换个角度想想，用武林中失传已久的方法：反证法！

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首先假设可以除以0，那么任何一个数除以0之后就一定会有一个结果出现。我们用不同的字母代表可能会出现的结果。比如：

 1 ÷ 0 ＝ a
 2 ÷ 0 ＝ b
 3 ÷ 0 ＝ c
……

因为除法是乘法的逆向运算，我们可以得出：

1 ＝ a × 0 ＝ 0
2 ＝ b × 0 ＝ 0
3 ＝ c × 0 ＝ 0
……

进一步可以推出，1＝2＝3＝……＝0。因此，假设不成立。

什么都是0，这不就是要四大皆空的节奏吗？

大学生


可能有些学过微积分的朋友会反驳，“可以除以0的，结果不就是∞么。”

图片实际上，这个说法并不对。

图片

首先我们用极限思维来思考这个事情。

1÷0.1=10
1÷0.01=100
1÷0.001=1000
1÷0.0001=10000
......
1÷0.000000000......00001=10000.......00000

意味着1除以一个很小很小的正数，得到一个超级大的正数。

同理：
1÷(-0.1)=-10
1÷(-0.01)=-100
1÷(-0.001)=-1000
1÷(-0.0001)=-10000
......
1÷(-0.000000000......00001)=-10000.......00000

意味着1除以一个很小很小的负数，得到一个超级大的负数。

图片

1除以一个无穷接近于0的正数和一个无穷接近于0的负数，走向的结果一个是正无穷，一个是负无穷。在这个中间经历了多大的鸿沟，到底经历了什么，我不得而知。而他们的中间，除以的正是0。

因此，微积分课程里会强调，∞这个符号只是代表一个趋势，并不是一个确切的数，是不能参与运算。

硕士研究生


看到这里，同学们肯定不会服气：虽然一个数除以0是未定义的，但并不是就意味没有啊。

没错，的确如此。

于是一个大胆的想法蹦了出来：制定新规则。毕竟，数学家也不是没有试过。

在过去很长一段时间里，平方根里面是不能放负数的。后来数学家将负数的平方根定义为一个新的数字，称为i，一个全新的复数的数学世界从此被开辟了。

既然他们都可以这样做，我们也来凑个热闹呗，直接定义 1 / 0  = w，w是个“无限大”的数。

图片定义一时爽，一直定义一直爽。

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我们虽然可以随便定义东西，但如果和现有的数学体系不相容，就会用得很苦逼，甚至不能用。

那么先来几个简单问题：1 + w等于多少？w - w等于多少？

我们可能会有这样的的直觉：无穷大加1不也是无穷大么！至于无穷大减无穷大不就等于0，自己减自己嘛！

我们不妨来加减一下。

 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1

可是

( 1 + w ) - w = w - w = 0


这里面涉及到的结合律，是加法里最基本的东西。也正因为它，才使得许多数学定理得以证明。

图片可想而知，如果结合律坍塌，那涉及到它的数学定理也一样兵败如山倒。为了能除以0，舍弃如此重要的结合律，明显不划算。

那还不如老老实实用旧体系。

说人话就是这个定义......

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博士研究生


有些同学可能不服气，就是要反对：还有很多的定义方式，我就不信没有！而且将来也会有新的办法啊。

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如果有能够将除以0完美融入现代数学体系的办法，那自然是最好，然而不大可能。其他学科可以通过新发现来推翻旧结论，但在数学里走不通。因为数学在两千多年的发展都是建立逻辑上，假如确实存在w这一个数，那么它一定违反了我们现有数学体系中的公理。

图片比如“皮亚诺公理”。
Ⅱ、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a  ，a 也是自然数(数a的后继数a 就是紧接在这个数后面的整数(a+1)。例如:1 =2，2 =3等等。)
Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c。

那么问题又又来了， w 是哪个数的后继数啊？哪个数加上1能得到 w？

你会发现根本说不出来，因为所有你能想到的数字都已经有属于自己的后继，只要把 w 当成一个数，那就没法兼容我们现有的实数。

值得一提的是，如果皮亚诺公理没了，整个自然数的体系就都不能成立。

8岁表妹必读


那是不是就意味着表达式 1 / 0 = ∞ 也不能写？

图片也不是不能。

事实上，还有一种“黎曼球面”的概念，是一种将复数平面加上一个无穷远点的扩张。

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里面涉及到“复无穷”的一个东西，是扩充复平面上有定义的一个点。

在这个特殊的规则下你可以写下 1 / 0 = ∞ 这样一个表达式，但无穷远点的算数区别于一般的代数规则不符。比如你不能把0放到式子右边，写成 1 = 0×∞。

然而这个黎曼球解决的并非是我们能否除以0的问题，它主要应用在分析和几何的其他学科，譬如量子力学和物理学其他分支。

图片说到底，0能不能作为除数只是一个规定问题，如果确实要讨论的话，那就只是在讨论这个规定的合理性，所以在通常意义下0不能作为除数，否则会违反了一些非常重要的公理，而这些公理的地位可是非常之深。

当你可以完美的除以0，就推翻整个数学界了。

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写在最后


作为一个普通人，学数学的道路长且艰，但数学是我避免不了的回忆，而其中最难忘记的是“显然易证，同理可得……”

这两句话承载不单单是大家的求学路上的汗水，同时也有面对数学难题的迷惘，甚至还有口吐莲花。

虽然会有被数学系同学追打的可能性，但我还是把他们做成了文化T恤。

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本文由超级数学建模编辑整理

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