普朗克尺度和普朗克时间
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理论物理专业在读博士生一枚~写一些关于现代物理学的科普
作者 | yubr
编辑 | Trader Joe's
1. 引言
1899年，德国物理学家、量子理论的开山鼻祖马克斯·普朗克 (Max Planck) 提出了一套特殊的单位制。
他试图通过三个我们宇宙中的基本物理学常数：光速 ，约化普朗克常数 和牛顿引力常数 来构建长度、时间、质量、能量等基本物理量的基本单位，这些基本单位统称为普朗克量。
通过量纲分析，普朗克发现唯一可能的具有对应量纲的物理量为
普朗克时间
普朗克尺度
普朗克质量
普朗克能标
等等。单纯从数值上来看，这些普朗克量很“极端”，它们对应了极短的时间尺度，极短的空间尺度，极高的能量标度。
一种常见于科普文中的说法是它们都表征了我们这个宇宙中的某种“极限”数值。
例如普朗克时间和普朗克尺度是我们宇宙中时间和空间的最小不可分割单元，普朗克能标是我们宇宙中所能达到的最高能标，等等。
然而，这种说法其实是不正确的，或者至少是不严谨的。
我们接下来将从一些（至少看起来）更深刻的方面去考察普朗克量的真正含义。
一颗定心丸
2. 普朗克量中的基本常数
首先我们来考察组成这些普朗克量的三个基本物理学常数：光速 ，约化普朗克常数 和牛顿引力常数 ，在国际单位制下它们的数值分别为
这三个常数在物理学中极其基本和重要，因为它们分别是相对论、量子力学和引力理论的代言人。
2.1 光速
1905 年爱因斯坦建立了狭义相对论，完全地解决了麦克斯韦方程组和伽利略世界观之间的矛盾：时间和空间应该是平权的，它们随着惯性系的改变而一起 “协同地变换”。
狭义相对论最重要的一个假设就是光速大小不随观者变化，在所有的惯性系中光速都是一个常数。
从这个假设出发，我们能推出惯性系之间的时空坐标变换必须保持如下的四维时空间隔不变
进一步我们能推出惯性系之间时空坐标变换的定量关系，也就是洛伦兹变换。
狭义相对论的一个重要推论就是它统一了质量和能量的概念。对于一个质量为 的静止的物体，其能量 由质量和光速平方的乘积给出
容易看出，上面定义的普朗克能标和普朗克质量之间也满足这样的关系
因为光速 是一个对所有惯性观者都不变的常数，所以谈到某个物体的质量和能量时我们完全可以将其视为一回事。
或者等价地，对能量的单位做一个重新标度 (rescale)，我们可以将光速设为1，这就是所谓的自然单位制。
自然单位制的好处是所有的物理量的量纲都可以化为能量量纲的幂次，这对于标度估算极其方便。在自然单位制下，普朗克能标和普朗克质量就完全是一回事了
同时，普朗克尺度和普朗克时间也完全是一回事了，因为普朗克尺度就是光在普朗克时间内走过的距离
2.2 普朗克常数
上面通过将光速设为1，我们统一了普朗克能标和普朗克质量，也统一了普朗克时间和普朗克尺度，那么普朗克能标 (质量) 和普朗克时间 (尺度) 之间有什么关系呢？
这将不得不涉及到统治微观世界的量子理论。
1900年，为了解释黑体辐射的实验，普朗克假设黑体不能像经典物理中那样连续地辐射和吸收能量，对于角频率为 的电磁波，其辐射和吸收的最小能量单元为
其中 是一个和频率无关的极小常数，被称为约化普朗克常数。
普朗克的这种 “能量以 为基本单位进行量子化” 的假设非常完美地解释了黑体辐射的实验曲线，并在之后成为了量子理论的开端。
1924年，德布罗意 (de Broglie) 提出实物粒子也具有波动性，其动量 和波长 之间的关系为
对于一个质量为 的实物粒子，我们总可以定义一个特征波长，被称为粒子的康普顿波长(Compton wavelength)
康普顿波长的含义是：
如果我们将一个粒子的位置确定到它的康普顿波长以内，那么具有的能量涨落将大到足以再产生一个这样的粒子。
这是因为根据海森堡的不确定性关系，我们没法同时确定一个粒子的位置和动量 (能量)，它的位置确定得越精确，其动量 (能量) 的不确定度就越大，它们不确定度的乘积大概是 的量级。如果我们将一个粒子的位置准确到其康普顿波长以内，那么由此带来的能量不确定度将大于这个粒子的静止能量 ，这么大的能量足以从真空中再产生一个这样的粒子。
从康普顿波长的定义我们容易发现
普朗克尺度正是一个具有普朗克质量的粒子所具有的康普顿波长
或者从不确定关系的角度出发
当我们把时间确定到普朗克时间以内，其能量具有的不确定度将达到普朗克能标
出于和把光速设为1一样的原因，在自然单位制下我们也把约化普朗克常数设为1，这样普朗克能标 (质量) 和普朗克时间 (尺度)之间就成了简单的倒数关系
2.3 牛顿引力常数
在经典物理时代，人们最引以为豪的成就就是能用同一个公式来计算天地万物之间的引力。
对于两个质量分别为 和 ，相距为 的质点，它们之间的引力由牛顿万有引力公式描述
其中的负号代表了吸引力，是一个和物体性质无关的常数，被称为牛顿引力常数，它描述了物体间万有引力的强弱。
牛顿的引力理论在遇到强引力场时会失效，它被爱因斯坦的广义相对论所替代，在广义相对论中，引力被描述为时空的弯曲。
和牛顿时空观不同的是，广义相对论中的时空不再是物质演化的背景舞台，而是会影响物质的分布，反过来物质的分布也会影响时空的几何。
物质和时空交织耦合在了一起，“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”，物质和时空之间的这种 “爱恨情仇” 在定量上由爱因斯坦场方程描述
其中方程左边的 是爱因斯坦张量，它刻画了时空的几何性质，而方程右边的 是能动张量，它对应了物质的分布。
我们可以看到，在广义相对论中又一次出现了牛顿引力常数的身影，它现在刻画了物质和时空之间耦合的强度。
牛顿引力常数的再次出现是很自然的结果，因为在弱引力极限下，广义相对论必须要退化为牛顿的引力理论。所以有引力出现的地方，就必然有 。
我们在后面可以看到，这个描述引力的常数，究竟是如何同我们宇宙中的“极限”量——普朗克量联系起来的。
2.4 WHY?
上面我们通过分析组成普朗克量的三个基本常数，讨论了不同普朗克量之间的关系，我们发现它们其实都是互相等价的，知道了其中一个，也就知道了其他几个。
特别地，在自然单位制下，它们之间就是简单的相等或者倒数关系。
那么接下来，我们要问一个基本的问题：
为何通过 ， 和 的幂次组合就能得到我们宇宙中的“极限”数值呢？
一种常见的 argument 是光速 ，约化普朗克常数 和牛顿引力常数 都是很基本的物理学常数，它们分别描述了相对论、量子力学和引力的基本性质，而这三个基本常数通过量纲分析能组合出的唯一具有正确量纲的量就是上面列出的这些普朗克量。
这样的解释充其量只能说明普朗克量也应该是很基本的物理量，并且很有可能同时蕴含了量子理论和引力的信息，但并没有回答问题的本质
在接下来的两节中，我们将分别从引力和量子场论的角度，来考察普朗克量的“极限”之处。
3. 黑洞：对不起我不能再轻了
广义相对论最大的成就之一就是预言了黑洞 —— 一种引力极大、极其致密以至于连光都没法逃脱其束缚的奇特天体的存在。
在爱因斯坦1915年发表他的广义相对论后的短短一年，就由德国物理学家史瓦西 (Schwarzschild) 解出了场方程的第一个解析解——史瓦西解。
这个解预言了球对称、不带电、不自转的黑洞的存在，这类最简单的黑洞被称为史瓦西黑洞。
对于一个质量为 的史瓦西黑洞，它的 “半径” (视界) 由下式给出
这被称为史瓦西半径，它恰巧就等于当年拉普拉斯所预言的“暗星” 的半径。将一个物体保持质量不变并压缩到它的史瓦西半径以下，那它就成了一个黑洞。
我们现在考察一个质量为 的史瓦西黑洞，并令它的史瓦西半径等于它的康普顿波长
我们发现其对应的质量正好就是普朗克质量！
这意味着
普朗克质量是最小的能稳定存在的黑洞的质量。
因为如果黑洞的质量小于普朗克质量，其对应的史瓦西半径将小于它的康普顿波长，按照上面一节的论述，这将产生足够大的能量涨落来从真空中生成另一个黑洞，从而这个黑洞不能稳定存在。
4. 有效理论——基本物理理论的失效
我们知道以量子场论为框架的标准模型相当成功地描述了电磁力、弱力和强力，并且标准模型被证明是可以重整化的。
但是引力并没有被包括进来，一个很重要的原因就是引力没法重整化，根源在于引力的耦合常数，即牛顿引力常数 的量纲是能量量纲的 次，而一个理论的耦合常数如果是负的，那么这个理论就不可重整。
不可重整的含义是没办法引入有限多的抵消项来消除圈图计算中的所有无穷大。
一个不可重整的理论称为有效理论，意思是这个理论只在某个特定的能标以下有用，一旦超过这个能标，这个理论就失效了。
这种能标的截断称为 cut off，cut off 的具体位置就由这个有效理论决定，其实就是由它的耦合常数决定。
例如早期的弱相互作用理论中的四费米子相互作用，其耦合常数：费米常数 的量纲也是 ，所以四费米子相互作用也是一个有效理论，一旦能标达到 的时候，四费米子相互作用就失效了，必须要被更加完整的理论替代，后来我们知道这就是电弱统一理论。
回到引力的问题来，在尝试把经典引力进行重整化的时候，因为引力的耦合常数 的量纲是 ，不可避免也要进行能标截断，截断的具体位置正是由牛顿引力常数决定
自然单位制下，代入牛顿引力常数的值，你会发现这其实就是普朗克能标
而我们目前并没有一个成功的量子引力理论，所以对于普朗克能标以上的物理，我们没有任何理论可以进行描述。所以普朗克能标也是……
有了普朗克能标的值，通过简单的换算就可以得到普朗克时间的值
在宇宙大爆炸发生后的普朗克时间内，即 秒内，根据不确定关系，宇宙的温度要高于普朗克能标。上面已经分析过，在这个阶段我们没有任何有效的物理理论去描述它，所有现有的物理规律全部失效，所以在这个意义上，普朗克时间才被称为是我们宇宙中最小的时间尺度。
5. 总结
本文的主要目的是想纠正很多人关于“普朗克时间和普朗克尺度是我们宇宙中的最小时空单元"的误解，以及由此产生的“我们的世界是离散化”的谬论。
主流的物理理论仍然坚持认为我们的时空是连续分布的，离散化的时空会破坏最基本的洛伦兹对称性。
最后，重要的事情只说一遍
⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️
普朗克能标并不意味着宇宙中的最高能标
它只是我们目前已知的物理理论所能描述的最高能标
普朗克尺度也不是宇宙中的最小尺度
它只是我们目前已知的物理理论所能描述的最小尺度
附注：
[1] 是微观世界中常用的能量标度，它等于十亿电子伏特。1电子伏特定义为一个电子通过1伏特的电场所获得的能量，它等于 焦耳。对于微观世界，焦耳是一个过大的能量标度，所以我们更多采用电子伏特。（打个比方：我们用光年衡量星系之间的距离，用公里衡量地球上两地之间的距离，用米衡量一个房间里两个人之间的距离，用是否点击关注衡量我和你之间的距离。）
[2] 原文为 “Matter tells spacetime how to curve, spacetime tells matter how to move”，by John Wheeler。
[3] 严格来说会差一个因子，但这是无关紧要的。
[4] 重整化是一种消除无穷大的技术。因为物理可观测量一定是有限大的，物理学家无法容忍一个“无穷大”的可观测量，但是量子场论的计算中会出现大量的无穷大，所以他们需要一个系统的方案来从这些无穷大中提取出和实验观测相符的有限量。可以重整化是一个理论“完备性”的基本要求。
[5] 回忆一下，在自然单位制中，所有物理量的量纲都可以转化为能量量纲的幂次——也许你现在能体会到自然单位制的优越性了。
[6] 有效理论的广泛性甚至远远超出量子场论和重整化的范畴，它的存在体现了物理规律随着能量标度分层表现的特点，即处于不同能标处的物理系统有其自身的规律，它们独立演化、互不干扰。固然，从原则上讲低能标处的物理规律可以由高能标处更基本的规律所决定，但当我们不知道高能标处规律的时候一样也可以通过有效理论来描述低能标时候的物理规律并和实验符合得很好。正如在发射火箭时只需要牛顿力学而不用考虑广义相对论，在煮咖啡时只需要热力学而不用考虑组成咖啡分子的夸克之间的量子色动力学一样，很多时候我们只需要考虑有效理论就足够了——它不完备，但是很有效。
[7] 凡事都有例外，作为量子引力的一个热门候选者，圈量子引力理论在一开始就放弃了空间连续性和平滑性的假定，通过保守性地整合量子理论和广义相对论，它能够建立了一套自洽的理论——当然，那是另外一个故事了。在圈量子引力理论中，时空确实是离散化的，时空的最小基本单元大概就是普朗克时间和普朗克尺度。抛弃时空连续性的圈量子引力看起来像是一个怪胎，但，也许它是对的呢？
来源：yubr
编辑：前进四
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