1 从钱大姐说起

大家在学习中学数学时一定接触过这样一条结论：原命题与逆否命题等价（同真同假）.我们常常可以将原命题转化为其逆否命题来进行分析.以一道高考题为例：

“

（上海2013理数16）钱大姐常说：“便宜没好货”，她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（）.

• .充分条件
• .必要条件
• .充分必要条件
• .既非充分也非必要条件

分析：通常我们会把命题写成“若则”的形式，以便得到四种命题形式.

• 原命题：若则.
• 逆命题：若则.
• 否命题：若则（也可记作若则）.
• 逆否命题：若则（也可记作若则）.

可以把题目中钱大姐的原话改写成“若则”形式的命题：

• 若东西是便宜的，则它不是好货.

其逆否命题为：

• 若东西是好货，则它不便宜.

而原命题与逆否命题等价，同真（这道题的隐含条件是默认钱大妈说的话是正确的，即为真命题）.因此，得到

也为真.也就是说，好货是不便宜的充分条件，不便宜是好货的必要条件，故选.

在这里，我们很自然地运用了“原命题与逆否命题等价”，但是你有想过这一结论为什么成立吗？今天大小吴将与大家探讨这一问题.

2 看似正确的证明

我们先来看对这一问题的一种证明方法：

已知，求证.

证明:（反证法）

假设不成立，则，

由已知得，矛盾.

因此.得证.

这个证明看似正确，但实则是存在漏洞的.

在数学上使用反证法证明命题，其原理是逻辑学中的“矛盾律”和“排中律”.具体办法是通过对待求证的命题进行否定，经过推理得出矛盾，从而说明原命题的否定为假，原命题为真.

而问题恰恰就出在“不成立，则”这一步上.因为“”的否定并不是“”.

为方便起见，我们来举个例子说明“”的否定并不是“”.

假设

则易知不成立，为假命题.

而此时

也可得知也不成立，也为假命题.

命题与命题的否定必有一真一假，而这里与都为假，可见的否定并不一定是.

那么，什么是的否定呢？

3 真值表

在探究这个问题之前，我们先来学习一下数理逻辑的“真值表”.

什么是“真值表”呢？我们知道，一个命题要么为真，要么为假，我们通常用“1”表示“真”，“0”表示“假”，那么，命题的真假值就可以在表格中表示出来了.在逻辑学中，有三种基本运算分别是

非运算很好理解，对命题的真假值取反即可，与（且）运算只有当真假值同为真时才为真，或运算只有当真假值同为假时才为假.

真值表如下：

同样地，我们也可以给出的真值（“若则”即为，在逻辑学中称为蕴含）.

通过真值表可以发现，只有当为真，为假时，若则才为假，其他时候都为真，这是为什么呢？我们来举个形象的例子来说明这种规定的合理性：

爸爸对小红承诺：如果小红期末考试数学成绩为优（），则他就带小红到黄山去旅游（）.这时会有四种情况发生：

• ①小红成绩得优，爸爸带她去旅游（真真）；
• ②小红成绩得优，但是爸爸没有带她去旅游（真假）；
• ③小红没有得优，爸爸仍然带她去旅游（假真）；
• ④小红没有得优，爸爸没有带小红去旅游（假假）.

情况①说明爸爸遵守了承诺，所以“若则”为真；在情况③、④中小红没有得优，所以不管爸爸有没有带小红去旅游，都不能说爸爸违背了诺言，所以“若则”仍然为真；而情况②说明爸爸没有信守诺言，此时“若则”为假.

所以实际上“若则”的真值定义符合我们日常思维的逻辑，只有当“真且假”时，“”才为假.因此，“”的否定应该是“且非”.这个结论同样可以用真值表进行验证.

再回到之前讨论的命题：

它的否定就应该是

显然，存在对角线互相平分且不是矩形的四边形：菱形就满足这样的条件.前者与后者的真假值为一假一真.

也就是说，在数学上我们要说明一个命题是假命题，要举出至少一个反例.

4 原命题与逆否命题

再来回到一开始的问题：原命题与逆否命题为什么等价呢？学习了真值表，我们便可以解释了.

可以看到，的真假值与完全相同，也即逆否命题与原命题等价.

来一道题目试试手吧~

参考文献[1]李秋明.对“原命题与其逆否命题等价”证明的思考[J].上海中学数学,2011,{4}(09):1-2.[2]季素月.“常用逻辑用语”教学解惑[J].中学数学月刊,2008,{4}(11):6-9.

来源：大小吴的数学课堂

编辑：hxg

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