一张纸对折103次，宇宙都装不下了？看“指数爆炸”的魅力

大家小时候是不是都听过这样一个故事。

古印度有个国王，他拥有数不尽的财富和至高无上的权力，但是吧，国王早就厌倦的自己奢靡枯燥的生活，感觉生活中没有任何乐趣。

直至有一天，国王的宰相发明出国际象棋，国王被这款新奇的游戏深深吸引，给国王枯燥的生活增添了无穷的乐趣。

为了奖励自己的宰相，国王许诺宰相可以满足他的任意一个要求。

宰相若有所思后说道：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏我1粒麦子；第二个小格内给2粒，第三格内给4粒……照这样下去，每一格都比前一个小格加一倍。把这样摆满棋盘上所有格（共64格）的麦粒，都赏给您的仆人吧！”

国王一听，觉得这个要求很简单嘛，于是爽快的答应了下来。很快，计数麦子的工作开始了。1粒、2粒、4粒、8粒、16粒、32粒、64粒、128粒、256粒、512粒、1024粒…………

一袋又一袋的麦子被搬运到棋盘前，但是麦粒数一格接一格增长得越来越迅速，国王很快就发现，掏空国库、甚至拿出全印度的小麦，也无法兑现他对宰相许下的诺言！

那么，这位宰相到底要求国王赏赐给他多少粒麦子呢？用中学数学所学的方法可以算出，共需18,446,744,073,709,551,615个麦粒！大约为两千多亿吨！而最近5年世界小麦平均产量才达到7.75亿吨。

上面令人震惊的故事背后，隐藏着一个看似数学原理——“指数爆炸”。

01【世界第八大奇迹——复利】

爱因斯坦说过：宇宙间最大的能量是复利，世界的第八大奇迹是复利。复利和指数爆炸又有什么关系呢？我们先一起来做一个选择题：

如果意外拯救大富豪，以下奖励二选一，你会选哪个？（单选）

（1）今天给你1000元；

（2）今天给你1分钱，接下来连续30天每天给你前一天两倍的钱。

选第一个选项的同学，立刻拿到了1000元；那选择第二个选项的同学，最终能拿到多少呢？

第1天：0.01元第2天：0.02元第3天：0.04元……第30天：5368709.12元30天合计：1073.741823万元

30天，从1分钱累计一千万，这就是复利——指数爆炸的威力：把前一期的本金和利息加在一起作本金，再计算下一期的利息，时间的效果会让资金快速累积，直到成为百万富翁。

02 【一张纸对折103次，宇宙都装不下了？】

一张纸最多能对折多少次呢？吉尼斯纪录是13次。

2011年，来自美国德克萨斯州圣马克中学的师生，将一张长达4公里的卫生纸摆放在了麻省理工大学的将近200多米的走廊里，折叠4个小时之后，成功完成对折13次，而这个时候卫生纸竟然达到了8192层。

一张A4纸的厚度约为0.1毫米，假设我们忽略折叠过程中不会有任何缝隙，纸也不会破。

折叠1次为0.2毫米、2次为0.4毫米、3次为0.8毫米，前面这些折叠我们还看不出厚度有太大的变化，因为从0.1毫米到1米，我们需要折叠14次。可当我们折叠20次，厚度突破100米；折叠27次，厚度将达到1.3万米（13公里）。而世界最高峰珠穆朗玛峰也仅仅8848米。

如果我们继续对折，

对折39次，厚度达到5.5万公里，可以绕地球赤道一圈；

对折42次，厚度达到44万公里，远远超过地球和月球之间的距离；

…………

对折84次，厚度达到20.4万光年，而银河系也才10万光年左右；

对折103次，厚度将达到1007亿光年，超过了目前人类可观测宇宙的直径930亿光年。

以上折纸虽然是我们的模拟计算，但也可以看出指数爆炸的威力。

现实中还有很多和指数爆炸有关的例子，比如细菌的繁殖、人际关系中的6度空间，甚至是原子弹的核裂变。正是这些，让我们更加深切的体会到数学的魅力。