“万物皆数”的神秘教主——毕达哥拉斯

中科院物理所今天

影响人类文明几千年的“毕达哥拉斯学派”，到底是一个怎样的组织？请看：

数学电影——《毕达哥拉斯》

以下视频来源于

包彦禹老师

从“证明几何学”鼻祖泰勒斯说起

提及“毕达哥拉斯”，我们有必要追溯古希腊文明，了解泰勒斯。

据传说，证明几何学是米利都的泰勒斯开创的，毕达哥拉斯曾想拜他为师。

他是古希腊七贤之一，生活在公元前6世纪前半期，曾经用一根木棒测出胡夫金字塔的高度，轰动了古埃及。

几何学中，下列基本成果也归功于他：

①圆被任一直径二等分；

②等腰三角形的两底角相等；

③两条直线相交，对顶角相等；

④两角和一边对应相等的两个三角形全等；

⑤内接于半圆的角必为直角。

泰勒斯的这些成果不仅在定理本身，更难能可贵的是——他提供了它们的某种逻辑推理。

例如“两条直线相交，对顶角相等”：

∠1=∠2曾作为十分明显的事实被考虑过，如果谁对这个结论表示怀疑，他们可以把一个角裁下来，叠置于另一个角上，让他信服。

泰勒斯则采用逻辑推理的方法：

因为∠1+∠3是一个平角，

∠2+∠3也是一个平角；

所以∠1=∠2；

靠的是从更基本的关于平角的原理，开始演绎推理得出结论。

那么，“为什么所有平角都相等？”

“什么是平角？”

……

人们不断的质疑，作为源头的最基本原理又是哪些呢？

从泰勒斯作出努力开始，古希腊人不断的“刨根问底”。并从此出发，开始构建一个完整的几何体系，这成为了古希腊数学家们孜孜以求的工作。

他们不再满足于“知其然”，而是要“知其所以然”。

一个关于定义、公理、定理和证明的故事渐次展开！

热衷于探讨事物的本源，俨然成为了古希腊人的一种生活方式。

泰勒斯认为“万物的本源是水”；

阿那克西曼德则认为“万物的本源不是具有固定性质的东西”；

“人是由海鱼演化而来”；

……

游学20年的“苦行僧”——毕达哥拉斯

让哲学成为生活方式！

这是古希腊文明的独树之处，与它独特的地理和人文特征密不可分。古希腊地处地中海东部，山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上，各个城邦始终处于割据状态；

当时的社会结构也相对简单，人与人之间比较平等，战争时他们会归于一个国王领导，而国王不过是某个贵族家庭的首领。

这使得古希腊鲜有强权，在这种民主和唯理的氛围下，公元前572年左右，爱琴海上一座叫萨摩斯（Samoa）的小岛，毕达哥拉斯出生于此。

岛上盛行一种没有严格教条的奥尔菲教，有共同话题的人们经常会聚在一起，探讨着他们的信仰。

孩提时的毕达哥拉斯就是在这种氛围下长大的，成年后，他离开了萨摩斯岛，来到米利都城求学。

据说，他想追随于泰勒斯的门下，泰勒斯以年事已高为由婉拒了他，让他去找另一位哲人阿那克西曼德（归谬法的创造者），同样不受待见。

慢慢的，他发现自己融入不了米利都，这与他超然于世的冥想有关。

（毕达哥拉斯认为人分三等：最低层是做买卖的，其次是参加竞技比赛的，最高层是旁观者，也就是学者或哲学家。）

于是他离开了米利都，前往埃及求学，在那里生活了近10年，学习埃及的数学、宗教、天文……

学成之后，毕达哥拉斯踏上了回乡的归程，不幸路上被入侵的波斯人掳去古巴比伦。

因祸得福的是，不仅几何，精通算术的古巴比伦人对代数（文字叙述的代数学）也颇有研究，毕达哥拉斯在此又学习了5年，接触了许多更为先进的数学。

期间，传说他到过古印度，了解古印度的数学文化。

加上路上游历花费的四五年，毕达哥拉斯外出游学近达20年之久，此番艰险堪比取经18年、经历九九八十一难的唐玄奘。

一个集古希腊、古埃及、古巴比伦甚至古印度文化的大成者，终于回到故乡萨摩斯。

而此时，波斯人暴政下的萨摩斯已经无法容纳思想如此先进的毕达哥拉斯，于是他不得不再度漂洋过海，来到意大利的克罗内托。在那里，他传经布道，广收弟子，从而建立了影响世界数千年的“毕达哥拉斯学派”。

数乃神的语言——毕达哥拉斯学派

在游历过程中，毕达哥拉斯接触过各地的神秘组织，他所创建的“毕达哥拉斯学派”也是一个类似宗教的秘密团体，正五角星是他们的徽标。

学派研究涉及哲学、学术、宗教等各个领域。“哲学（philosophy）”和“数学（mathematics）”这两个词可能是毕达哥拉斯创造的。

“哲学”希腊语为Φιλοσοφία，意指“爱，智慧”；“数学”希腊语μθημα，意指“可以学到的知识”。

尤其数学，学派把属于会计师和调查员们的应用技术，转化成了一门纯粹的科学，毕达哥拉斯使数学变成一门高尚的艺术！

学派在数学上的成就主要包括以下几个方面：

证明了“毕达哥拉斯定理”

也就是勾股定理（公元前11世纪，商高见周公时提及“勾三股四弦五”，故我们称之为“勾股定理”，它是人类第一次将数与形结合在一起的重大发现）。

据说一次教派晚宴，主角毕达哥拉斯趁着大家觥筹交错之际，溜到一旁，盯着墙角的方形拼砖，灵感迸发，用面积法证明了直角三角形三边的关系。

（西方学者认为，毕达哥拉斯第一个证明了该定理，故称之为“毕达哥拉斯定理”。也有传说他为此杀了100头牛表示庆祝，从学派素食主义的观点上看，这一说法未必可信！）

特殊数和数组

如完全数，即等于它真因子之和的数。

例如6的真因子为1、2、3，1+2+3=6；常被用于占卜的完全数是28，当时人们认为月亮绕地球一周为28天，而28=1+2+4+7+14，这样的发现带来了许多的神秘色彩。

（完全数迄今为止只发现了49个，并且都是偶数，至于能不能找到奇数的完全数，或者奇完全数就不存在，至今没人解决。）

又如亲和数220和284：

220的真因子之和：

1+2+4+5+10+20+22+44+55+110=284；

284的真因子之和：

1+2+4+71+142=220；

他们认为这两个数充满着爱情的味道，两者彼此“含情脉脉”！

数与数组的研究还有三角数（1, 3, 6, 10……）、正方形数（1, 4, 9, 16……）、五边形数（1, 5, 12, 22……）、毕氏三数（勾股数）等；诚然，学派是数论发展的先驱。

正多面体

据柏拉图记载，在五种正多面体中，学派成员蒂迈欧将4种容易作出正多面体——正四面体、正八面体、正二十面体和正六面体，与火、气、水、土神秘的联系起来，至于难作的正十二面体，将它与包罗万象的宇宙联系在一起，后来亚里士多德称之为“以太”（除了水、火、气、土之外，还有一种居于天空之上的以太）。

发现无理数

信徒希帕索斯发现单位正方形对角线长根号2，不是有理数，引发了“第一次数学危机”。

（甚至有学者认为“黄金分割”也是毕达哥拉斯学派发现的，有它们的正五角星徽标为证。这可能是一种臆测，因为，“第一次数学危机”因学派后来发现不可公度的无理数根号2而起，有悖于无理数“黄金比值”的提前知晓，也许，学派选择正五角星为徽标，是出于图形美的直觉。）

不仅如此，在毕达哥拉斯看来，最能净化人们心灵的，一定是音乐。

他发现二弦琴两条琴弦的音程之比越简单，和音越和谐，2:1对应八度音，3:2对应五度音，4:3对应四度音，9:8对应二度音。反之，当比例太复杂时，听上去就很刺耳。

音乐上的发现，和谐概念的提出，直接引发了毕达哥拉斯学派的核心理念——万物皆数（世界的本源是数）。

事实上，与毕达哥拉斯同时代的佛陀、老子也有类似观点。

如《道德经》所云：道生一，一生二，二生三，三生万物。表示“道”生万物，事物的变迁是一个从少到多，从简单到复杂的一个过程。这是老子对伏曦八卦和《易经》的总结，太极生两仪，谓阴阳。与毕达哥拉斯学派认为奇数是阳性的，偶数是阴性的，颇有异曲同工之感，许多学者困惑于古代东方数学如何较大程度的影响了古希腊数学，这也许是个线索。