解方程有什么难的？

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最简单的多项式方程的解——被称为“单位根”，它们有一个优雅的结构，数学家们现在仍然用它来研究一些数学上最伟大的开放性问题。

如果你上过代数或物理课，你就会遇到抛物线，这是一条可以模拟小球在空中抛物轨迹的简单曲线。抛物线最重要的是它的顶点即最高点或最低点，我们可以用很多数学方法可以找到它。你可以尝试顶点式，或者对称轴，甚至微积分。

但上周，我的一个学生用一种特别简明的方式找到了抛物线的顶点。她说：“因为根是关于顶点对称的，分别是 x = 1 和 x = 7 ，所以顶点在 x = 4 。”她这样做是因为抛物线是二次多项式的图形，而这个多项式的根（使多项式等于 0 的值）具有某种她可以利用的结构。

每个多项式的根都有一个结构，数学家们研究这些结构并寻找机会利用它们，就像我的学生研究抛物线一样。说到多项式的根，没有比“单位根”更有结构性的了。

单位根就是 xⁿ – 1 形式的多项式的根。例如，当 n = 2 时，我们得到二次多项式 x² – 1 。要找到它的根，只需让它等于 0 ，然后求解方程:

x² – 1 = 0

也许你还记得因式分解公式：a² – b² = ( a – b )( a + b ) 。这里分解为：

x² – 1² = ( x – 1 )( x + 1 )

从而可以得到

( x – 1 )( x + 1 ) = 0

现在你得到了一个等于 0 的乘积，你可以调用代数中最不受重视的规则之一——“零乘积性”：两个实数相乘为 0 的唯一方法是其中一个为 0 。如果 ( x - 1 )( x + 1 ) = 0 ，那么可以得到 x − 1 = 0 或者 x + 1 = 0 。当 x = 1 时，第一个方程成立，当 x = −1 时，第二个方程成立。所以， 1 和 −1 是上述方程的两个单位根，这两个根和 1 的两个平方根是一样的。

对于任意 n ，你都能找到 n 个单位根，也就是方程 xⁿ – 1 = 0 的解。这些单位根有一个非常丰富的结构，它与高中数学中的三角学和平面旋转，以及一些现代数学中伟大的未解问题的研究相关。

当 n = 2 时，两个根 1 和 −1 有一个对称结构，这与我的学生如何找到它的顶点有关。你可以在方程 x⁴ = 1 的解中看到更多的结构。因为 1⁴ = 1 和 ( −1 )⁴ = 1, x = 1 和 x = −1 都满足这个方程，所以它们是四次单位根。但实际上还有两个根，你可以像我们上面做的那样用代数方法找到它们:

x⁴ = 1
x⁴ – 1 = 0

因为 x⁴ 和 1 都是完全平方式，你也可以在这里使用平方差公式:

x⁴ – 1 = ( x²)² – 1² = ( x² – 1 )( x² + 1 )

这就把方程 x⁴ – 1 = 0 变成：

( x² – 1 )( x² + 1 ) = 0

x² – 1看起来应该很熟悉：我们在求解二次单位根时把它分解了。从而可以得到：

( x – 1 )( x + 1 )( x² + 1 ) = 0

我们现在不能继续分解了。表达式 x² + 1 是实数域不可约的，这意味着它不能被分解成只涉及实数的更低次的多项式乘积。但是我们仍然可以应用零乘积性质。如果这三个数相乘等于 0 ，那么其中一个一定是 0 。也就是 x - 1 = 0 ，x + 1 = 0 ，或者 x² + 1 = 0 。

前两个方程告诉我们：x = 1 和 x = −1 是方程 x⁴ = 1 的解，也就是四次单位根。那么该怎么处理 x² + 1 = 0 呢?

如果你知道复数，那么你就知道虚数单位 i 。i 满足这个方程，因为它的定义式为 i² = −1 。i 不是实数，因为没有实数的平方是负的，但事实证明大多数单位根都是复数。由于 x = i 满足 x² + 1 = 0 ，所以它肯定是一个四次单位根。你可以很容易地用一些指数规则来验证这一点：既然 i² = −1 ，那么 i⁴ = ( i²)² = ( −1 )² = 1 。由于复数遵循实数的大多数规律，所以 ( −i )² = i² 是成立的，从而可以看出 x = −i 也满足 x² + 1 = 0，即 x = −i 也是四次单位根。

这四个数 1 , −1 , i 和 −i ，都是四次单位根，而且这四个根并不是偶然的。代数基本定理告诉我们，每个 n 次多项式都有 n 个复数根。所以方程 xⁿ = 1 有 n 个复数解，这些都是 n 次单位根。(因为实数也是复数，所以如 1 和 −1 这样的实数解也都包含在复数解中。)

对于给定的 n ， n 次单位根具有一些显著的性质。从几何上来看，如果你画出复数平面上的 n 个单位根，你会发现它们围绕以原点为中心的单位圆等距分布。

复平面上的 n 个单位根的图

这种几何结构与三角学中的重要思想密切相关，比如正弦和余弦的角和差公式、平面旋转理论，以及自然对数函数的底 e 。这个几何也与一个有趣的代数性质有关：对于任意 n ， n 个单位根的和是 0 。

对于 n = 2 ，这很明显:两个二次单位根的和是1 + ( −1 ) = 0 。我们也清楚地看到了四个四次单位根之和为 0 :

1 + i + ( −1 ) + ( −i ) = 0

在这两种情况下，很容易看出为什么总和是 0 ：单位根成对出现，当你把它们加起来时，它们就消掉了。

然而，即使根不是成对出现的，这个结果仍然成立。例如，三个三次单位根是 1 、−1/2 + √3 i /2 和 −1/2 − √3 i /2 。两个非实数根没有消掉，它们的和是 −1 ，然后和剩下的实数单位根抵消，最后得到 0 ：

1 + ( −1/2 + √3 i /2 ) + ( −1/2 − √3 i /2 ) = 0

你可以用几何方法来证明这个性质，不过还有一个简明的代数证明表明这个性质是正确的。我们把三个三次单位根称为1， α 和 β 。这三个数都满足三次方程：

x³ – 1 = 0

因为你知道这个三次方程的根，所以左边的多项式可以写成：

( x − 1 )( x − α )( x − β ) = 0

如果你用分配律把这个式子乘几次，你会得到下面的结果：

x³ − ( 1 + α + β ) x² + ( α + β + αβ ) x − αβ= 0

由于我们已经知道多项式乘积应该对应于怎样的三次多项式：x³ – 1 。所以 x³ – ( 1 + α + β ) x² + ( α + β + αβ ) x – αβ 等于 x³ – 1 ，这意味着左边 x² 项系数 1 + α + β，等于右边 x²项系数,即 0 。因此 1 + α + β = 0 ，所以三个三次根之和为 0 。

这个论证推广并产生了著名的结果——“韦达定理”，它给出了多项式的根与系数的关系。韦达定理中的一条是指，在一个以 xⁿ 开头的多项式中，多项式根的和等于 xⁿ – 1 的系数的负数。类推到 xⁿ– 1 形式，其以 xⁿ 开头， xⁿ– 1 的系数为 0 ，所以多项式的根之和为 0 。

当涉及到单位根时，还有一个更值得注意的代数结果。对于给定的 n ，如果 α 和 β 是 n 次单位根，那么 α × β 也是 n 次单位根！如果 α 和 β 都是 n 次单位根，这时可以得到 αⁿ = 1 ， βⁿ = 1。那么 (α × β)ⁿ 会怎样呢？

一般来说，取复数的幂时需要格外小心，但因为假设 n 次单位根的 n 总是一个整数，指数的基本规则仍然适用，比如这个：

(α × β)ⁿ = αⁿ × βⁿ

所以 (α × β)ⁿ = αⁿ × βⁿ= 1 × 1 = 1 。这意味着 α × β 满足方程 xⁿ = 1 ，所以是 n 次单位根。例如，当 n = 4 时，如果你把两个单位根 i 和 −1 相乘，你会得到另一个四次单位根：i × (−1) = −i 。当 n = 3 时，你还可以验证两个非实数根与实数根的乘积：

( −1/2 + √3 i /2 ) × ( −1/2 − √3 i /2 ) = 1

这个性质在n次单位根上产生了一个极其丰富的代数结构：一个“群”结构。

群是由一组元素（比如这里的n次单位根）和一个运算（比如这里的乘法）组成，并满足一些熟悉的性质的代数结构。群的一个属性是封闭性，正如我们刚刚演示过的，封闭性意味着两个 n 次单位根的乘积总是另一个 n 次单位根。群的另一个重要性质是逆元存在性。这意味着对于任意一个 n 次单位根而言，总存在另一个 n 次单位根使得这两根的乘积是 1 。例如，当 n = 4 时， i 的倒数是 −i ，因为 i × ( −i ) = −( i²) = −( −1 ) = 1 ，在三阶单位根中， −1/2 + √3 i /2 的倒数恰好是 −1/2 − √3 i /2 。

群的研究是伽罗瓦理论的基础，伽罗瓦理论用来研究与多项式及其根相关的抽象代数结构，属于高等数学领域的研究范围。你可能知道二次求根公式，也可能知道三次和四次求根公式，但没有一个通用的公式来求 5 次或更高次多项式的根，伽罗瓦理论通过研究与多项式根相关的群来帮助解开这个谜团。

因为 n 次单位根有它们自己的群结构，它们在伽罗瓦理论中占有重要的地位，尤其是因为这种结构很容易使用。单位根群满足对易性，这意味着你调换两个相乘对象的顺序不会改变结果，而且它们总是“循环”的，这意味着你总是可以通过将单个元素与自身相乘来生成整个群。

在伽罗瓦理论中，与交换群相关联是探索多项式中得到的一个非常好的性质，并且单位根的影响远远超出了 xⁿ − 1 形式的多项式。结果表明，伽罗瓦理论中任何与交换群相关的多项式都有根，这些根可以表示为不同单位根的和。从某种意义上说，单位根构成了某个数学领域中所有多项式的基础。1900年大卫·希尔伯特提出了 23 个数学问题，用以指导接下来100年的数学探索方向，将单位根的作用推广到其他数学领域是希尔伯特第 12 题的目标。现在，一个多世纪过去了，人们仍在研究第 12 个问题，并取得了一些进展，但数学家们还没有完全解决这个问题，也许很快他们就会找到问题的根源。

练习

证明四次单位根也是八次单位根。

答案

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设 α 为四次单位根，那么 α⁴ = 1 。等式两边同时平方，得到 α⁸ = 1 。因为 α 满足 α⁸ = 1 ，所以它是八次单位根。

找到其他四个八次单位根。（提示:是其中之一，但你需要把它写成 a + bi 形式。)

答案

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注意， √ i 是 8 次单位根，因为如果 α = √ i ，那么 α² = i ，所以 α⁸ = i⁴ = 1 。为了求出，设 √ i = a + bi ，两边同时平方，得到 i = a² – b² + 2abi 。它告诉你 a² – b² = 0 以及 2ab = 1，通过代数运算得含有 i 的根 √2 /2 + √2 i /2 。另外 3 个单位根是√2 /2 − √2 i /2 ，−√2 /2 + √2 i /2，和 − √2 /2 − √2 i /2 。

什么时候 n 次单位根也是 m次单位根?

答案

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当 m 是 n 的倍数时，这是成立的，它遵循简单的指数法则。设 αⁿ = 1 以及 m = kn。那么 α^m = α^kn = ( αⁿ)^k = ( 1 )^k = 1 ，所以 α 也是 m 次单位根。

一个“ n 次本原单位根”是指这样的一个 n 次单位根，它的幂次方包含了所有n次单位根。例如， i 是一个四次本原单位根，因为 i 的幂是 i ， –1， –i 和 1 ，对应于所有的四个四次单位根。但 −1 并不是四次本原单位根，因为它的幂是 –1 和 –1 。那么，在所有的八次单位根中，哪一个是八次本原单位根?

答案

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让 α = √2 /2 + √2 i /2 。那么α是八次本原单位根，因为 α² = i ， α³ = –√2 /2 + √2 i /2 , α⁴ = –1 , α⁵ = –√2 /2 – √2 i /2 , α⁶ = – i ， α⁷ = √2 /2 – √2 i /2 ， α⁸ = 1 。巧妙运用一些乘法，或者一些指数定律，你可以得到其他八次本原单位根是 α³ ， α⁵ 和 α⁷ 。事实上， n 和 n 次本原单位根之间有一个优美的关系，你可以用指数定律找到它。看看你能不能找到它！

挑战:

所有n次单位根的乘积是什么?（提示:仔细看看韦达定理吧。)

作者：Patrick Honner

翻译：C&C

审校：Nour

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/the-simple-math-behind-the-mighty-roots-of-unity-20210923/

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编辑：zhenni

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