遇到不会就选C，一场考试下来能蒙对几道选择题？

考届一直流传着这样一个传说，“不会就选C”据说被历代学子们奉为不会做题时答题“上策”。

你有没在考试中遇到选择题拿不准答案就选了C，然后就蒙对了的经历？

标准化考试是国际上广为流行的考试方法，它具有客观性强，覆盖面广，评卷迅速等优点。选择题是标准化考试中最常采用的题型，我们在各种考试中都经常能见到选择题的身影。

从题目的结构看，一般分为两部分：一部分是提出或陈述一个问题，另一部分是备选答案，包含一个正确答案及几个错误答案。我们来看下面的例子：

【选择题】以下图形中有几个是正方体的表面展开图?

A.1个；B.2个；C.3个；D.4个。例子中备选答案有4个，只有D项是正确的。

一道选择题的备选答案数,我们称为“项数”。上面的例是一道4项选择题。虽然选择题作为考试的题型，有着许多优点，但也存在一个严重的不足，即难于摒弃“碰运气”的成分。具体地说，对一个一无所知的人来说，单凭机遇也可能碰上几个正确的答案。

事实上，一道λ项的选择题，随机选取恰好碰上正确答案的概率是1/λ，碰到不正确答案的概率是1-(1/λ)。假设共有n 道这样的选择题，光凭机遇随机选对k题的概率为

具体些，如果我们有10道题，每道题有4个备选答案，即 n=10，λ=4。

那么，可以一个个算出随机选对k题的概率(只是相应的要从杨辉三角的第10排去查)，列表如下。

随机选题概率 

从表中容易看出,光凭机遇选对两道题或三道题的可能性占了过半，如果这也“给分”的话，显然是不够合理的。正是由于存在这种不合理性，所以许多国家的考试组织者，都对各种考试做了形式各异的弥补性规定。

如美国中学数学竞赛，共有30道选择题，每卷给30分基本分，以平衡随机得分。只有全错才得0分, 但全错的可能性是极少的。

又如我国有些数学联赛试题，对选择题得分做如下规定：答对得满分,答错得0分, 不答得1分。这主要是鼓励学生“知之为知之，不知为不知”，不要去做碰运气选题的事。再如2013年苏州大学的自主招生，语文、数学、物理、化学的考试试题均由40道选择题组成，得分规定为：选对的得5分；不选的得0分；选错的扣2分。这里设置的扣分，意在惩罚那些碰运气的人。

上面的众多规定，既有合理的一面，也都有不合理的地方。从科学的角度看，要让那些靠碰运气选题的人得不到分，才算合理。为此，我们必须去求靠碰运气最可能会选对的题数k* ，这相当于解以下不等式组：

仅限于初中的知识，要解上面不等式组还有一定困难，但解得的结果却是很简单的: 

其中[x]表示不超过x 的最大整数。如[π]=3，[lg32]=1等。在前面例中 

这与表中查到的相应概率的最大值是一致的。当k* 确定之后,我们便可以设置扣分,使得选对k* 题的人得不到分。科学的扣分法有两种。

第一种方法: 

设答对一道题得r分，答错一道题得0分,每卷以-k*r为基本分,且总得分不取负值。显然,全对者得(n-k* )r，即为满分。如前例中的10道题，假定每道题答对得5分，由于k* =2，所以基本分可定为-2×5=-10分，满分为40分。 

第二种方法: 

设答对一道题得r分，答错一道题扣t分，基本分为0分。t的选取，要使选对k* 题的人得不到分数(因为我们认为他是纯粹靠运气选对的)。因此，该卷所得分数应与所扣分数相当, 即k*r=(n-k* )t,算得 

对于多项选择题，随着项数λ 的增大，靠机遇选对的题数 k* 相应减少。对于这种情形，即使不设置扣分，也不至于对总分造成过大的影响。

从k* 的计算式可以看出,要减少k* 的途径有两条，一是减少题目数量,二是增大项数。减少题目的数量是没有实际意义的，而增大备选答案的个数，又对设计题目造成了困难。怎么办呢？最近，有的考试采用了一种叫作“多解选择”的办法，每个备选答案都可能是正确的或错误的(与单一选择的区别是，不再只有一个答案正确)。这样，λ 个备选答案，每个答案都有“取”与“不取”两种选择，共有种选取的方法。除去都不选的一种情形，实际项数有 

这显然比单一选项的项数要高得多。例如，备选答案只有3个的多解选择，实际项数

项数这样高，随机选对的可能性势必很小。因而，多解选择一般是没有必要去设置扣分的。