超越...数 e 就是最棒的！

对于我们来说，超越数中的 实在是再熟悉不过了。不过同为超越数的 （即欧拉数）又是如何从中脱颖而出的呢？

在我们的日常用语中， “transcendental（意为‘超越的’）”这个词被用来形容一些不平凡的、隐秘的并且充满魔法或神奇力量的事物；而在数学领域，这个词就普通许多了，它描述了一类不能作为多项式方程 （其中系数 a 、 b 、 c 是有理数， x 的最高次幂可以是任意的正整数）的解的无穷多的数。伟大的数学家欧拉（Leonhard Euler）这样形容：“它们超越了代数方法力量所及的范围。”

而其中最有名的两个超越数（transcendental number）确实配得上我们平时所说的“超越”的内涵，那就是普适常数 和 。这两个数的确神秘又有力量，甚至表现出了某种魔力：它们在数学的许多分支中都扮演着核心角色，也在许多问题的解中不期而遇。

对于这两个强大的常数，我们大多数人对 更加熟悉。所有学生都知道它的近似值，并把它用在计算当中；而另一个数，欧拉数 ，或者说2.71828… 就没那么家喻户晓了。事实上它具有一个身份：是第一个非构造的被证明出来的超越数（1873年由数学家埃尔米特Charles Hermite证明）。我们这里说它是“第一个非构造的”，是因为在1850年数学家刘维尔（Joseph Liouville）列举出了第一个可证明的超越数，但是这个数是专门为了证明而构造出的一个数，并非从自然或数学分支中产生的。这样一来 就显得尤为特别了：它从自然中产生而且运用到数学的方方面面。

大多数人都知道 是自然对数的底数，并且知道它是从复利理论和指数增长或衰退中产生的。但是我们在这些个领域处理计算问题的时候不一定总会和 打交道。接下来我们可以通过一些常见的问题来看看 是怎么“冒出来”的，从中我们可以窥视到它的普适性。

像 以及其他超越数一样， 具有无限的十进制的表示形式：它无穷尽的小数位数不能用任何整数之比的形式表示。即使它小数点后的前十五位看起来具有挺友好的周期性，你甚至可以分组来记忆它：2.7 1828 1828 45 90 45。当然这种规律其实只是个巧合，剩下的位数可以想见是完全没有规律的。

但是 还是具有一些使它从其他数中脱颖而出的神奇性质。和同样是超越数的 相似， 可以写成无数种形式——无穷级数的和、无穷乘积、无穷数列的极限以及奇妙的正则连分数等等。

我仍然能回想起当初刚接触 时的情景。当时我们正在学校学习常用对数，我学到把所有的数字改成用 10 的分数次幂表示，从而把复杂的乘积问题简化——这可真够神奇的。但当时我想，小数次幂和无理数次幂真的能够计算吗？

后来我学到了解释这些的魔法方程，它们为帮我理解这个“自然对数”中的“自然”提供了一些思路：

而对于负指数，也有负的对应关系：

这些强有力的公式使得对 的幂指数——包括从负无穷到正无穷的整数、分数等实数范围的任意精度——的计算成为可能。

当 时，其形式变为 的著名表达式：

不仅如此， 还有许多令人惊奇的性质，有些将在解密过程中揭开。但某个令其运用在对数和指数增长/衰减的场景如此自然的有关于 的核心属性是：

这意味着随着 变化 的变化率恒等于它本身。

当 表示时间时，这个式子就代表增长率（ 为负时对应衰减率）。现实中存在着许多确实随时间如此演化的例子，我们称之为指数增长或衰减。此外， 的这个性质还具有着基本的美学上的美感和自然，能够给人以启迪。多说一句，我个人甚至觉得它还给了我道德上的启发：我认为它包含了一种禅意，无论增长还是衰减，似达到一种完美的平衡，应得即为所得，不多也不少。

我们将用下面的谜题来展示这些性质，其中有一部分是非常经典的，也有一些是我自己补充的。在这些谜题中数字 将会很自然地产生。而对于为什么会这样，即使你只是懵懵懂懂了解个大概，相信也会很有趣。下面我们给出了谜题的解法，这些数学不可避免地有些深入，但千万不要被令人眼花缭乱的公式所吓倒，我们将尽量从一般的阐释和概念去理解它们。

谜题1：拆分

先任选一个数字，比方说 10 ；将其分成几个相同的数字之和的形式，比如说 2 个 5 ；然后相乘：5 × 5 = 25 。当然我们也可以将 10 分为三个、四个、五个或者六个一样的数字然后进行一样的处理，像下面这样：

2份：5 × 5 = 25
3份：3.33 × 3.33 × 3.33 = 37.04
4份：2.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5 = 39.06
5份：2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
6份：1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 = 21.43

比较一下相乘得到的结果，随着份数的增加，乘积好像是先增长至一个最大值，然后开始减小；你也可以试试其他数，例如 20 或 30 ，进行同样的操作，你会发现得到的结果是一样的。这个现象和数字无关，而是由数字 的一个特殊性质引起的。

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a. 看看你是否能算出来，对于一个给定的数，怎么等分之后得到的乘积最大？而这和 又有什么关系呢？如果你卡住了，可以先看看下面的提示。
(提示：当等分的每一份的值最接近 时，计算结果达到最大点。)

像我在提示中提到的，当等分的每一份的值最接近 时，乘积会达到最大值。再精确一点讲，两个次大的乘积的因数必定在数轴上分布在 的两侧；对于这里我们随便提到的数字，按我们先拆分再相乘的操作，等分出来的每一份的值和 差得越小，最后所得的乘积越大。

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b. 对于 10 来说，最大结果（ 39.06 ）和第二大结果（ 37.04 ）相比较，大了大约 5.5% ，那么你能猜到在 100 以内的数当中，最大和第二大结果差距最小的数是多少吗？为什么？

我们可以知道，不同的等分的因子和 e 的差越接近，它们各自得到的乘积的值也越接近（不难看出，这两个因子要是对称分布在 的两侧的话——事实上我们做不到这一点——它们得到的乘积就是一样的）。假设初始数字为 N ，当 的小数点后的部分接近 0.5 时，这种情况更容易发生——也就是说 在数轴上更靠近两个相邻整数的中点。这样我们可以构造一个表格，里面列出100以下所有的 N 对应的 的值。我们可以找到这些 的小数点后部分最接近 0.5 时对应的整数N值，为 53 。此时 的值约为 19.4976 。离它最近的两个整数是 19 和 20 ，以它们为因子构造的乘积（ 和 ）之间，彼此只差了 0.0013% 。

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c. 你能解释 为什么会出现在这个看起来很简单的问题里吗？

这个回答涉及到一些基本的微积分知识 —— 求得一个函数的最大值时， 其对应点的导数应该为零。我们的函数为 ，这表示其中每一等分的值都为 。我们把这个函数写作对数表示，写作 ，这样能让求最小值变得方便。学过的朋友可以手算，如果你不太擅长微积分，那你可以借助软件解 ，得到 ，解得 ，其中 n 、 为正数。也就是说，等分的每一部分的值为 。看！出现了！

这告诉我们 有着和最值相联系的特性。在下面的谜题2中我们将看到，在寻找最小或最大值的时候 就会出现。通过对定义域在正实数内的函数 的求极值可以看出 的这个性质的最基础的版本。对于所有实数，函数取最大值时 。求 的最大值和求 的最大值本质是一样的，令后者的导数 为零，可以求得 ，即 。

谜题2：联姻

一个亿万富翁的未婚继承人遇到了一个麻烦：根据他的继承条款，他需要在21周之内结婚，不然就会失去属于他的那份财产。尽管留给他的时间不多了，这位继承人仍然决定挑选最合适的伴侣，所以他注册了一个婚恋应用程序，e - 婚恋，这个应用程序遵循下列规则：

这个程序的专有算法每两周会给你匹配一个最合适的潜在伴侣，在这两周中，你必须去和这个候选人相互见面、了解之后，才能选择接受或者拒绝。一旦候选人被拒绝，就不能反悔。

这位继承人认为，他可以先在开始的20周内和10个匹配好的潜在对象见面，然后在截止日期前的一周结婚。

总结起来如下:

继承人将按照下面规则在10名候选人中选出最佳人选：
候选者依次接受考核，在下一名候选者入场前，前一名候选者的结果已经确定；
被淘汰的候选者不能被召回；
一旦选出最佳人选，整个流程自动终止；
如果轮到最后一名候选人此时还没有选出最佳人选，最后一名候选者自动胜出。

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a. 在没有并列的情况下，他如何能够将选到最好候选人的机会最大化？

这样的情形要求这个继承人先要无条件地拒绝特定数量的候选者（“拒绝期”）；接下来是“选择期”，这个时期他只要遇到比之前拒绝的人排名都高的候选者就需要进行选择选择。

在拒绝期到一定长度的时候，选择到最佳候选人的概率达到最大值。如果拒绝期继续延长，概率会开始降低，这时会更可能出现拒绝最佳候选人的情况；而如果拒绝时期变短，继承人没有足够的经验对候选人进行合适的排名，他就更可能接受较低排名的候选人，这也会使选择最佳的概率降低。

可见这个问题是一种“最佳停止问题”（optimal stopping problem），其中 e是由于最优性而出现的。对于较大的候选人数目 n ，最佳的候选人拒绝数目（即“拒绝期”长度）应该为 。

比如在我们的新的表述中，候选人数目为 ，拒绝期的人数 ，选择最佳的概率计算过程将会是：

首先最佳候选人可能在 10 个面试者中的任何节点出现，对应来说就是第 1 到 10 位面试对象为最佳人选的概率都为 。对于每个可能出现的位次 ，将“选择这个候选人”的概率乘以 “这个候选人是最佳人选”的概率 。最后我们对所有位置求和，得到一个一般表达式。

· 如果最佳人选在1号到3号面试者当中 ，而根据设置他们将被拒绝，则选出最佳人选的可能性： 为 .

· 如果最佳人选是4号面试者 ，因为此时已经过了“拒绝期”，那么4号面试者一定会被选中，也就是说选出最佳人选的概率为： .

· 如果最佳人选是5号面试者，只要4号面试者不是此前排名最高的，5号面试者就会被选中，于是： .

· 如果最佳人选是6号面试者，只要4号和5号面试者都不是此前排名最高的，6号面试者就会被选中，此时： .

……

· 如果最佳人选是10号面试者，.

可以看出，对于选择期的不同位置，我们可以得到一个相同的表达式 ，最佳人选是4号面试者的情况也可以通过改写成 来符合这个式子。

通过求和来计算最终选出最佳人选的概率（从求和符号中提出 ）：

当拒绝期长度为 位时，概率变为 39.8% 。这两个就是最高的概率值了。当拒绝期的长度继续增加或减少时，概率都会迅速降低。是不是有点像之前谜题1的内容？这并不是巧合，让我们接着往下看：

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b. 如果有 10% 的可能出现并列第一，这位继承人找到最佳伴侣的几率将会如何变化？

对于继承人，这次有 10 %的可能性会存在两个排名并列的候选人，那么寻找到最佳候选人的概率增加了。

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c. 这是一个关于 的解的经典问题。你能解释 是如何参与这个问题的吗？

实际上 e 在这个问题中出现了两回。

我们回到之前的概率表达式，做如下替换：

那么当 n 趋近于无穷时，总概率趋近于：

等式右边的形式是不是和我们在谜题1中看到的相似呢？令其导数为零，我们会发现，选中最佳人选的概率最大是，而它对应的，即拒绝期长度与总人数的比值，也是 ，约为 36.8% 。

虽然这的确是一个继承人如何使他找到最佳伴侣几率最大化的问题，但即使是 也无法保证他能获得“超越”的幸福。这是因为，如果继承人的最佳伴侣出现的时间更早、但是被拒绝了，那直到20周结束他还是会一直卡在一个很低排名的候选人那里。

一个更实际的选择是选到最佳伴侣之一，而不是“最”佳的那一个。也就是说，如果我们假设这10个候选人的排名从高到低分别是从 1 到 10 ，那么我们只要挑选前三或前四就可以了。

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d. 在这种比较现实的情形下，他如何能选择到最理想排名的候选人？

在上面提到的经典场景中，继承人采用的是“全有或全无”的策略，要求他先拒绝开头的几个候选人，再选择随后出现的第一个排名更高的人。

但当最佳候选人出现在拒绝期里面时，后面的候选人便会一直卡在一个较低排名而导致继承人无法选择。

为了避免这样的事情，他最实际的策略应该是在初始阶段比较挑剔，而随着候选人数的增加，降低自己的预期并选择下一个还算不错的人。

首先考虑只剩最后一名候选人，然后从后往前分析，可以让我们这个策略更精准一点。

因为最后一名候选人的排名出现在任意位置的可能性是相等的，所以他的排名的期望值应该和所有人的最终排名的平均值相等（这个例子里是 5.5 ）。所以只要倒数第二个候选人的排名是在前五名以内，即使不是最好的，也应该录取倒数第二名候选人了。

同理，当只剩两位候选人时，排名高的那个的期望值在 3.67 左右，所以再往前数，对于倒数第三个候选人，只要他的排名在前三名以内就应该被选中。

对于 e -谜题是不是有些意犹未尽？下面这最后一个还要更难一些。

谜题3：入座

我们假设在上个问题中的继承人的任务已经圆满完成，他获得了美满的婚姻并且继承了一大笔财富。这对幸福的夫妇决定去一个仅限情侣的度假胜地庆祝，这里已经计划要举办一场盛大的音乐会。在限定情侣的前提下，这个场地遵循先到先得规则：

当一对情侣进入这个礼堂时，他们可以选任意一对相邻的位置就座；每有一对情侣进场，按照这样来选座，这样已入座的情侣之间就会出现单独的空位，这一过程持续到场内只剩单独座位为止。接下来就宣布会场已坐满，演出开始。

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a. 当就座环节结束时，有多大比例的座位是没有人的？

当座位的数量增加时，这个问题的答案会趋近于 ，约为 13.5% 。

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b.  是如何参与这个会场入座问题的？

我们用字母来表示一些参量：空座位数的期望值分别为 、、、、 ……(数字下标代表相连的总座位数。)先来看看当总座位数较小时的情况：

对于单个座位，显然一对情侣不能坐下，那么这个座位就是空的，即 . 对于两个空座位：可以坐下一对情侣， . 三个空座位（ABC）时：新来的情侣可以坐在 AB 位置或 BC 位置，总会有一个空余，故 . 四个座位（ABCD）时：新来的情侣可能会坐在 BC 位，留下两个空座位；或是占据 AB/CD 位，不留空位，所有情况的平均期望值为 .

同理写出后续的一些对应式，通过对上面的关系进行总结和外推，我们可以得出一个递推关系，由之前的数据 和 来推算现有的总座位数n会对应多少空位 。这个递推关系式为（对于 成立）：

可以推算出 E 的数列为：1 , 0 , 1 , , 1 , , , , …

这些数分别除以各自的总座位数就可以得出空座位的比例，比如 16.24% （总座位数为10）、13.804% （100）、13.561%（1000）、13.538%（6000）。可以看出，这些数字越来越接近 的值（13.5335…%）但是当总座位数很高时，这样的推算会耗时很久，我们又怎么知道正确的数字呢？

递推关系固然很好，但处理这种关系式就好像爬无穷级的楼梯，一次还只能爬一级，费时又费力。我们更需要一个只和 n 有关的解析解，这样只要知道了 n 的值，就能一下子知道答案。

从递推关系中得到一个解析解的过程叫做递推求解，这个过程除了有一些优美的技巧可以尝试外没有什么捷径。一些计算软件可以帮助我们求解，证明了 趋近于 的结论。

所以 又是怎么出现在这个问题里的呢？难道有什么魔法不成？以下我省去了一些杂乱的代数过程，留下一些重点内容来尝试解答一下：

首先先来看看与之前说到的数列 E 有关的两个不同的差分数列 （difference sequences）。第一个差分数列 D 是两个相邻的 E 的差，而第二个差分数列 DD 是两个相邻的 D 之间的差值。也就是说：, ,  , …；, , , ...  ( ， ) 

下面的表格列出了三个数列开始的几个值，我会简短地解释下为什么这么做。

我们可以通过表里的数值来检验这个公式的正确性：

现在到了关键一步，观察将 DD 求和后的结果：

多余的项都被消去，只剩下 了。通过这样的技巧求解递推式的方法叫做差消法（telescoping）。

是不是挺眼熟的？和开头说的 的无穷级数对比，可以看到对于 n 很大时 ，这个式子就是 ，或是说 的形式。

于是超越数的平方就神奇地出现在空座位数量的一阶差分数列中了。这是因为这个数列的计算过程就是 n 的 -2 次幂除以 n 阶乘之后再求和，正对应了 的幂的结构。

当 n 足够大时，只有第一项会保留下来，就得到了我们早先的结果：.

以上就是我们有关超越数的所有谜题了，希望大家能愉快地解开这些谜团，或许还能从中感受到一些从未了解到的关于奇妙数字 的知识。

解谜愉快，祝你在超越的思考中有 点快乐~