有趣的数学题——你会解欧拉“不可能”谜题吗？

文章来源于：中科院高能所

作者：心月

过了243年，今天才解出来的欧拉谜题，到底是什么？

早在1779年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)提出了一个著名的谜题：六个军团，每个军团有六个不同级别的军官。这36名军官能否被安排成一个6乘6的正方形，并且不会有行或列重复一个军衔或团？

你的第一反应是“这也太简单了吧？”还是“这怎么可能？”

其实吧，当有五个军衔和五个团时，或者有七个军衔和七个团时，这个难题就很容易解决了。不信请看下图。但是，在无数次为36名军官寻找解决方案失败后，欧拉得出结论：“这样的安排是不可能的，尽管……我们无法给出严格的证明。”

图：5乘5的矩阵可以用5种不同形状和5种不同颜色的棋子填充，并且不会有行或列重复任何一个形状或颜色。

一个多世纪后，法国数学家加斯顿·塔里(Gaston Tarry)证明，确实，欧拉的36个军官不可能不重复地排列在一个6乘6的正方形中。

1960年，数学家们用计算机证明了大于2的团和列的其它任意数目的解都存在，奇怪的是，只有6乘6是例外！

类似的还有一个谜题，已经让人们着迷了2000多年。一个是家喻户晓的“魔方”，还有一个是“拉丁方”，每一行和每一列都有一个不重复的符号。它们被广泛地应用于艺术、城市规划，以及各种游戏（你小时候也玩过吧？）。其中一种十分流行的拉丁方——数独——它的子方块也是没有重复符号（数字）的。

读到这里，有些很聪明的读者一经发现，欧拉的36个军官谜题其实是要求这是一个“正交拉丁方”，其中两组属性——军衔和团，都要同时满足拉丁方的规则。

然而，尽管欧拉认为这种6乘6的正方形的解并不存在，但最近情况发生了变化——PRL期刊的一篇论文提出，也可以安排36军官的方式满足欧拉标准——只要军官可以有一个量子的军衔和军团的混合态。

这是量子版魔方和拉丁方谜题的最新成果，有趣吧，这项成果还可以应用于量子通信和量子计算。

“我认为他们的论文非常棒，”因斯布鲁克大学(University of Innsbruck)的量子物理学家杰玛·德拉斯·奎瓦斯(Gemma De las Cuevas)说道。“这里面有很多量子魔法。不仅如此，你还能在整篇文章中感受到他们对这个问题的热爱。”（论文链接见文末）

这个量子谜题的新时代始于2016年，当时剑桥大学的杰米·维卡里(Jamie Vicary)和他当时的学生本·穆斯托(Ben Musto)就想到，拉丁方中的谜题也许可以用量子解决。

在量子力学中，像电子这样的粒子可以处于多种可能状态的“叠加”状态：例如，在这里和那里，或者同时有向上和向下的磁场方向。(量子物体在被测量之前一直处于这一状态。)量子拉丁方的子方块也是量子态，可以处在量子叠加态中。数学上，量子态用矢量表示，矢量有长度和方向，就像箭头一样。叠加是由多个向量组合而成的箭头。类似于拉丁方每一行和每一列上的符号不重复的要求，量子拉丁方每一行或每一列上的量子态必须对应于相互垂直的向量。

量子拉丁方不寻常的特性让物理学家们十分感兴趣，因此很快被一群理论物理学家和数学家所采用。去年，法国数学物理学家Ion Nechita和Jordi Pillet创造了量子版的数独——SudoQ。在SudoQ中，行、列和子方块各有9个垂直的向量，而不是整数0到9。（SudoQ论文链接也在文末哦）

这些进展促使波兰克拉科夫雅盖隆大学的博士后研究员亚当·布尔夏特(Adam Burchardt)和他的同事们重新研究了欧拉关于36名军官的老难题。

在这个问题的经典版本中，每个军官都有明确的军衔和团。想象一下，其军衔可以是国王、王后、车、主教、骑士和兵，其军团可以用红色、橙色、黄色、绿色、蓝色或紫色来代表。但在量子版本中，军官是由军衔和团的叠加构成的。例如，军官可以是红色国王和橙色皇后的叠加。

重要的是，这些量子态有一种叫做纠缠的特殊关系，它涉及到不同实体之间的关联。例如，如果一个红色的国王与一个橙色的王后纠缠在一起，那么即使国王和王后都同时处于两个颜色军团的叠加状态，如果观察到国王是红色的，可以立即告诉你王后是橙色的。因为纠缠的特殊性质，每一行或每一列上的军官都可以是垂直的。

这个理论似乎是可行的，但为了证明它，我们必须构建一个6乘6的阵列，其中充满了量子官员。大量的配置和纠缠意味着我们不得不依赖计算机的帮助。研究人员输入了一个经典的近似解(36个经典军官的排列，在一行或列中只有少量重复的军衔和团)，并应用了一种算法，将这种排列调整为真正的量子解。这个算法的工作原理有点像用蛮力解魔方，先固定第一行，然后固定第一列，第二列，以此类推。当他们一遍又一遍地重复这个算法时，这个谜题数组就越来越接近真正的解了。最终，研究人员能够看到这个模式，并手工填写剩下的几个条目。

因此现在可以说，欧拉当初判断错了——尽管在18世纪，他不可能知道还有量子官员这么一说……

 图：欧拉

“他们解决了这个问题，这已经很好了，”内基塔说。“这是一个非常漂亮的结果，我喜欢他们获得答案的方式。”

他们的解决方案有一个令人惊讶的特点，据合著者、位于钦奈的印度马德拉斯理工学院(Indian Institute of Technology Madras)的物理学家苏哈尔·拉瑟(Suhail Rather)说，军官级别只与相邻级别(国王与王后、白鸦与主教、骑士与兵)、兵团与相邻兵团相关联。另一个令人惊讶的是出现在量子拉丁方中的系数。这些系数本质上告诉了你在叠加中不同项的权重是多少。神奇的是，算法得到的系数之比是Φ，也就是1.618…，这是著名的黄金比例。

解决方案也是所谓的绝对最大纠缠态(AME Absolutely Maximally Entangled)，这是种量子物体的排列对包括量子纠错在内的许多应用都很重要——在量子计算机中是一种冗余存储信息的方法，这样即使数据损坏，信息也能保存下来。在AME中，测量量子物体之间的相关性要尽可能强：举个栗子，如果Alice和Bob有纠缠的硬币，Alice抛硬币得到正面，她就知道Bob有反面，反之亦然。两枚硬币可以最大限度地纠缠在一起，三枚也可以，但四枚硬币不行。然而，新的研究证明，如果你有一组四个纠缠的骰子，而不是硬币，它们可能是最大纠缠态。六面骰子的排列等价于6乘6的量子拉丁方。由于在他们的解决方案中存在黄金比例，研究人员还将其称为“黄金AME”。

研究人员之前已经找到类似的量子版本，设计出了一些AME。但新发现的黄金AME仍然是独一无二的。好啦，本次有趣的数学谜题之解就到这里啦，相关论文在下面哦。

解决欧拉谜题的论文链接：https://arxiv.org/abs/2104.05122

SudoQ链接：https://arxiv.org/abs/2005.10862

原文链接：https：//www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/