非阿贝尔置换群：从绝世武功到非厄米系统中实现

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金庸的《天龙八部》是武侠小说中的杰作，里面英雄人物和神奇武功无不让人叹为观止！其中，天山童姥的独门“暗器”——生死符，更是妙至巅毫：用内力形成的薄薄的冰片，却千变万化，且能让人“求生不得，求死不能”。虚竹后来便用这门武功收服了不可一世的星宿老仙。而其中种种神奇的性质，归根结底皆因这是一门非阿贝尔武功！且看小说（影视作品）中的描述：

截自2003年张纪中版《天龙八部》。

“非阿贝尔”(non-Abelian)是群的一种特征。非阿贝尔群中必须存在不满足交换律的元素(non-commutative)。在此例中，设附五分阳内力的操作为, 附五分阴内力的操作为, 则上图红框中的描述说明生死符的制备过程不满足交换律，即：

，满足。

当然，非阿贝尔群除了创造绝世武功进而一统江湖这个重要应用之外，也对物理中的许多问题有着广泛而深刻的影响。 

置换操作往往可以通过群来描述。而置换对于许多物理问题的研究都有重要的意义。例如，置换两个玻色子，其波函数不变；置换两个费米子，其波函数得到一个负号。因此，置换是全同粒子分类的重要依据。而作为一种区别于费米和玻色子的新型准粒子，任意子(anyon)的置换则更加复杂，往往需要用到幺正矩阵来描述。矩阵相乘不满足交换律的情况比比皆是，所以任意子中容易出现非贝尔置换。

受此启发，该工作主要探讨：任意子置换类似的现象，是否能在其他系统中出现？ 

答案是肯定的。多个态在绝热演化下的几何相位，本质上就是一个幺正矩阵，可以映射到非阿贝尔群。这为实验上通过三个或多个简并态的平行传递来实现非阿贝尔交换提供了可能性。然而，如何激发和操纵多个简并态是一个充满挑战的问题。近年来非厄米物理的发展为该问题提供一个全新的思路。尽管非厄米系统可以直接通过厄米系统中引入损耗、增益或非互易耦合来实现，但非厄米系统却拥有厄米系统中不具备的独特特性，其中包括最显著的特性——复数特征值。这一特性允许多个特征值黎曼面通过支割线连接起来，而支割线的端点，也被称为奇异点(exceptional point)。因而，系统沿着闭合路径围绕奇异点演化，总会不可避免地穿过一条或多条支割线。所以非厄米系统中的本征态天生就可以发生置换。这为态的置换的研究提供了一个新的视角。该工作正是通过对三态非厄米系统本征态绕不同奇异点演化状态的研究，发现并成功观察到满足非阿贝尔群(二面体群, 含六个元素)的置换现象。

群的五个非平庸操作可用于描述等边三角形的对称操作（如图1）。

图1. 非阿贝尔群的五种非平庸操作。

该研究基于一个三态非厄米系统，系统在三维参数空间中可形成两条分开的奇异弧（如图2c）。其中奇异弧由1、2态形成，奇异弧由2、3态形成。研究发现，沿着闭合路径对奇异弧上的奇异点绕圈（如图2c中绿色虚线标识），态在相应的黎曼面上的演化使1、2态发生交换（图2d），对应到群操作为：。同理，对奇异弧上的奇异点绕圈（如图2c沿着紫色虚线标识），会导致2、3态交换，即：。如果将和对应的两个路径缔连，则可实现三个态置换。并且，置换结果依赖于路径顺序，由此可实现群中的两种三元素置换操作，记作以及。显然，。此外，最后一种1、3态的交换也可以通过改变路径的位置来实现。这是由于操作可由其他操作的级联产生。

图2. 三态声学系统以及围绕奇异弧所产生的态交换。（a）三元耦合声学腔实验装置。（b）仿真厄米声学模式。（c）三维参数空间下的两条奇异弧。（d）和（e）为特定参数下的本征值黎曼面（实部）。 

该实验系统基于三耦合声学腔[首见于Science 370, 1077 (2020)]，通过改变声学腔的声学参数——损耗和腔体积，对奇异点进行绕圈。此外，通过对不同参数点下的声学腔的本征值和波函数进行测量，并用平行传递的方法处理实验数据，可观测到系统本征波函数在置换中的演化过程（如图3、4），验证了非厄米系统中的三态非阿贝尔交换。

图3. 两态置换。（a, d, g）分别用黎曼面（实部）表示三种两态交换和。(b, e, h)、和对应的本征值（实部）的演化。符号和线分别表示实验和理论结果。(c, f, i) 和对应的测量得到的本征函数（实部）的演化。态-1,2和3的本征值和本征函数（实部）分别用蓝色、绿色和红色表示。

图4. 三态的非阿贝尔置换。（a, d）分别用黎曼面（实部）表示两种三态交换和。（b）和（c）分别表示先绕奇异弧再绕奇异弧所测得的本征值和本征函数（实部）的演化，对应操作。（e, f）测量得到的本征值和本征函数（实部）的演化实现群操作。

该工作展示了非厄米系统在研究非阿贝尔物理现象上的潜力，提供了全新的非阿贝尔研究平台，也为非厄米多态演化提供了理论和实验依据，为非厄米系统未来在声学、光学、力学等领域的发展提供了新的思路。

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