π的那些你可能不知道的事实

来源：大学物理学

作者：薛德堡

作为一个数，π受到人类的重视，每年的3月14日被称作“圆周率日”，也称π节。后来这一天又被设为“国际数学日”。

关于它的文字一波又一波，但既然它是无限不循环的，它的传奇还在继续，所以它的故事也不能总是那几个，应不断推陈出新才过瘾。

阿基米德常数是π的别名，不，确切的说，应该是π一开始的名字，因为π这个符号只是牛顿的好朋友William Jones在1706年提出的。那么，为什么它与阿基米德有关？

π最初的出身是作为欧几里德几何中圆与直径的比率被提出的。而作为欧几里德的学生的学生，阿基米德是古希腊——甚至整个人类历史上最伟大的三大数学家之一。第一个记录在案的严格计算π值的算法是使用多边形的几何方法，正是阿基米德在公元前250年左右设计的。

π作为无理数，它是无限不循环的。所以，任何整数构成的分数只能算作它的近似值，而无法代替它。

例如，355/113这个非常接近π的整数比是我国南北朝时的数学家祖冲之发现的，他曾给出了位于3.1415926~3.1415927的高精度圆周率，并保持了800年的不破纪录。

下面是到目前为止发现的一些分数近似值，从左到右依次越来越接近π值。

但是，可否通过有理数无限制地接近π值？目前还没有得到结论。

π的数字没有明显的模式，这一点已经通过了统计随机性测试，包括正态性测试。当所有可能的数字序列（任意给定长度）出现的频率相等时，无限长的数字称为正常数。π为正态的猜想尚未得到证实。

由于π的数字序列通过了随机性的统计测试，因此它包含一些可能看起来非随机的数字序列，例如从π的十进制表示的第762位开始出现的连续六个数字9的序列。这在数学民间传说中也被称为“费曼点”，以理查德·费曼（Richard Feynman）的名字命名，尽管目前还不知道这与费曼有什么关系。

π不光是无理数，它还是超越数。与  这种无理数不同，π不可能是任何有理系数方程的根。这意味着，你不可能通过圆规和直尺画出一个与圆的面积相等的正方形，换句话说，你不可能画出一条长度为π的整数倍的线段。

不过，如果放宽限制，可以借助一些特殊的曲线——例如阿基米德螺线来达到目的。

π有很多种定义，例如最初的就是指欧式几何中圆的周长与直径的比率。它还可被定义为圆与以圆的半径为边的正方形的面积比。这些都是几何定义法。

其实也可以撇开几何，从纯数学的角度来定义π，现代分析之父魏尔斯特拉斯提出如下定义 不过，后来有人提出，微分先于积分，所以积分不是最基本的。现在普遍采用的π的定义为：π是余弦函数等于0的最小正数的两倍。

此外，它还有很多其他的定义方式，来自数论、概率论和统计学等领域。例如Gregory–Leibniz 定理给出的定义是： 不过，这个看起来很美的式子，使用起来效率不高！例如，当你辛辛苦苦地加到第500000项时，你只不过得到一共5个有效数字，也就是3.1416。

利用某些无穷数列可计算π，例如 它比Gregory–Leibniz 定理能更快地得到π的近似值，但速度依然不够理想。

后来人们发明了基于计算机的迭代算法，包括Karatsuba算法、Toom–Cook乘法、高斯-勒让德算法等。不过迭代算法通常需要大量的计算机内存。

1914年，印度超级天才数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan）发表了数十个关于π的新公式，这些公式以其优雅、数学深度和快速收敛而著称，其中之一如：

利用该公式，比尔·戈斯珀在1985年创造了π的1700万位数的纪录。

后面，人们还发现了更多π的计算公式。基于这些公式，采取更高效的算法，现在人们已经计算到π的数万亿位了，迄今的最高纪录已经达到62.8万亿位。

这么多位，存储起来都麻烦，如果按照每两个数字一个字节计算，62.8万亿位大概需要30多个T的硬盘！

根据蒙特卡罗方法可获得π。例如巴夫昂投针实验就是这样一种方法：将一根长为  的针反复丢向划有相隔为  的平行线的地面，设丢出  次，如果其中的  次与这些平行线相交（  ），则可以得近似π值为： 

另一种方法是，画一个内接在正方形的圆，然后在正方形上随机撒点。圆圈内的点与点的总数之比大约等于π/4。

不过，因为计算机只能产生伪随机数，这种模拟的方法对生产随机数有很高的要求，如果随机数不够逼真，得到的结果就会有偏差。

以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否是循环小数。但自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，把圆周率的数值算得更加精确，更多都是出于一种好奇。

因为现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。例如，如果以39位精度的圆周率值来计算可观测宇宙（observable universe）的大小，误差还不到一个原子的体积 。

所以，大多数人获得更长的数字的目的，主要是为了打破已有的纪录。当然，为了测试计算机性能、测试算法以及研究π的数字的随机性，不断获得π值的数字也是有一定意义的。

一种常见的技巧是记忆一个故事或诗歌，其中单词长度代表π的数字：第一个单词有3个字母，第二个单词有1个字母，第三个单词有4个字母，第四个单词有1个字母，第五个单词有5个字母，依此类推。

例如“How I wish I could calculate Pi” 这句话中的单词所含的字母的个数依次是3141592。还有人发明这样一个长句用来记π：

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.

它代表3.14159265358979。

在其他语言中，人们也创作了用于记忆π的诗歌。例如，中国人都记得一句：“山顶一寺一壶酒”，它代表了3.14159。

2015年3月21日，印度人拉杰维尔·米纳以9小时27分钟的时间背诵了7万位数的π数字，被吉尼斯世界纪录认证。

这个日子中出生或者离世的人无数，这里随便记录几个如雷贯耳的人物，他们是：

阿尔伯特·爱因斯坦，1879年3月14日出生。卡尔·马克思，1883年3月14日去世。斯蒂芬·霍金，2018年3月14日去世。

END

编辑：近水楼台